Примеры решения задач

Задача 6.9

Вычислить амплитуду результирующего колебания, полученно- го путем сложения двух гармонических колебаний, совершающихся вдольодногонаправлениясодинаковымипериодамииамплитудами,равнымиА₁= 10 см,А₂= 20 см.На-

чальные фазы колебаний равны со-

ответственно

_

01₃

и^.

02₆

Дано:T₁=T₂=T;₁=₂=;

^;

01₃

^;А₁= 0,1 м;

02 ₆

А₂= 0,2 м.

Найти:А.

Чтобы сложить два гармонических колебания, происходящих вдоль осих

x₁(t)A₁cos(t₀₁)иx₂(t)A₂cos(t₀₂),

воспользуемся методомвекторныхдиаграмм. _�

Изначалаоси(с_�м.рис)проведемподу_�глом_{01вектор}A_1,подуг-

л_�ом_�02—векторA_2.Построи_�мв_�ектор_�A,равныйсуммевекторов

A₁иA₂. Проекции векторовA₁,A₂иAна осьxопределяют состав-

ляющие колебанияx₁(t),x₂(t)и результирующее колебаниеx(t).Aи

₀— амплитуда и начальная фаза результирующего колебания.

Из треугольникаΔOA₁Aпо теореме косинусов для моментавре-мениt= 0 имеем

A



tg



_A1sin₀₁A₂sin_02.

⁰AcosAcos

1 01 2 02

Ответ: амплитуда результирующего колебания

^A0,12^0,22^{20,10,2cos30}

^{0, 010, 040, 040,870, 29}м,

начальная фаза:

tg₀

_{0,1sin 60}0, 2 sin 30_0,83,0,1cos 600, 2 cos 30

₀arctg0,83390, 68рад.

4. Затухающие механическиеколебания

Вреальныхусловияхмеханическиеколебанияпроисходятвсреде.Взаимодействие колеблющейся системы со средой приводит к рас- сеиванию (диссипации) энергии колебаний (механическая энергия колебаний превращается во внутреннюю энергию среды).Колеба-

ниязатухают.Затухающие колеба-ния неявляются периодическими,так как через конечный промежу- ток времени физическая величи- на не принимает то же значение. Однако через равныепромежуткивремени повторяютсямаксималь-ные,норазныепоабсолютнойве- личине отклонения величины от положенияравновесия.

Переход от одного максималь-

Рис. 6.11

ногозначения физической величи-ны до следующего максимального

значенияпоабсолютной величине, деленное пополам, назовем ампли- тудойколебания.Призатухающихколебанияхамплитудыуменьшают-ся,новремяпрохождениясоседнихамплитудостаетсяпостоянным.

За условный период затухающих колебаний принимается про- межуток времени двух переходов от одного крайнего положения до другого.

Найдем уравнение затухающих колебаний груза массойm,подве-шенногонапружине,скоэффициентомупругостиk.Нарис.6.11по- казанытрисостояниясистемы.

Состояние 1 — естественная длина пружины.

Состояние 2 — груз висит на пружине, система находится в со- стоянии статического равновесия.

_� �_'

^mgFупр^{0. (6.34)}

Начало координат совмещено с состоянием статического равно- весия, так как любое колебание происходит около положения рав- новесия.

Δx— статическая деформация. Из проекции уравнения (6.34)наосьХс учетом того, что модуль силы упругости равенkΔx,получим

mgkΔx. (6.35)

Для удобства составления дифференциального уравнениясостоя- ние 3 (рис. 6.11) зафиксировано в тот момент движения груза, когда деформация пружиныхувеличивается и груз движется вниз. Пусть груздвижетсясоскор_�остью,меньшей20м/с.Вэтомслучаесиласо-

п_�ротивлениясредыF_{Rпропорциональна}первойстепенискорости

v

R

Fr^�,гдеr—коэффициентсопротивлениясреды.Знакминуспо-

казывает, что сила сопротивления среды направлена в сторону, про- тивоположную движению, т. е. в данном случае вверх. Модуль силы сопротивления равен

Frvr^dx.

^R dt

�

На_�рис.6.11показанысилыmg,

�

^Fупр

�

иF_R

. Модуль силы упруго-

сти

^Fупр

пропорционален сумме статическойΔxи динамическойx

деформации, т. е.F_упрk(Δxx).

ЗапишемвторойзаконНьютонаприменительнокгрузу,находя-

щемуся в состоянии 3. (см. рис. 6.11).

_� � � _�

mgF_упрF_Rma. (6.36)

Проекция векторного уравнения на осьxравна

mgk(Δxx)rvma, (6.37)

d^2x dx 1

гдеmgkΔx,a ,v . Умножив уравнение(6.37)на ,по-лучим ^{dt2 dt m}

d²x_{r dxk }

dt²

m dt

x 0. (6.38)

m

Введя обозначения^k

²и^r

2, перепишем последнее урав-

нение в виде

m ^0m

d²x

dt²

• 2^dx

dt

²x0. (6.39)

0

0

Записанный в такой форме второй закон Ньютона —линейное однородноедифференциальноеуравнениевторогопорядкаспосто- янными коэффициентами²и2.

Длярешенияуравнения(6.39)воспользуемсяметодомЭйлера.Ре-шение ищем в видеxCe^t, гдеC— произвольная константа,— неизвестная константа. Для нахождения константподставим

xCe^t,

^dxCe^tdt

d²x

^,dt²

C²e^t

в (6.39), получим тождество

0

C²e^t2Ce^t²Ce^t0,

0

Ce^t_^22²_0.

В полученном тождестве один из сомножителей должен равнять- ся нулю.

1. C0, так как рассматривается движение, а непокой;

2. 0

   e^t0, по существу не равен нулю;3.Следовательно,_^22²_0.

Из этого уравнения, именуемого характеристическим, найдем не- известную константу:

^1,2



В зависимости от соотношения₀ивозможны 3 различных ва- рианта возвращения системы в состояние равновесия.

1. вариант

Если₀, то корни₁и₂— действительные и разные. В этомслучаенетколебательногодвижения,таккакпоказательстепениe^{t— вещественное}число.

Действительно, каждому корню характеристического уравнения соответствует по методу Эйлера частное решение вида:

^⎛²^2⎞t

1

x(t)e¹te⎜^⎝

_0⎟⎠,

^⎛²^2⎞t

2

x(t)e²te⎜^⎝

_0⎟⎠.

Тогда общее решение находится как линейная комбинация част- ных решений

или

x(t)C₁x₁C₂x₂

2

^⎛²^{2⎞t ⎛}^22⎞t

1

x(t)Ce⎜^⎝

_0⎟⎠

• Ce⎜^⎝

_0⎟⎠

гдеС₁иС₂— произвольные константы. Проанализируем зависимостьx(t).

Таккак

,тостепеннаяфункциясовременемубывает.

скорости^�.Возможныеси-

Характер убывания зависит от начальной координатых₀и начальной

v₀

туации приведены на рис. 6.12.

Еслих₀> 0, начальная ско-

v₀

рость^�направленаот положе-

нияравновесия, то зависимость

x(t) имеет видана рис. 6.12.

Еслих₀> 0, начальная ско-

v₀

рость^�достаточно велика и

направленакположениюрав-новесия, то груз один размо- жетпересечь положениерав-новесия,азатем устремитьсякнему.Зависимостьx(t) име- ет видбна рис.6.12.

Еслих₀> 0, начальная ско-

v₀

рость^�мала и направленак

положениюравновесия, то за- висимостьx(t) имеет видвна рис. 6.12.

2. вариант

Рис. 6.12

Если₀, то корни_1,2, т. е. корни₁и₂являются крат- ными. Частные решения одинаковы и равныe^t.

В этом случае, чтобы не потерять одно частное решение, вместо постоянныхинтегрированияС_1иС₂,следуетзаписатьмногочлен,сте- пень которого на единицу меньше кратности корня характеристиче- ского уравнения. Общее решение запишется ввиде

1 2 1 2

x(t)C e^tC te^te^t(CtC).

Поскольку многочлен (С₁+t C₂) растет намного медленнее, чем убывает сомножительe^t, то функцияx(t) будет близка к видама,б,в, приведенным на рис.6.12.

Вывод.При₀движение груза перестает быть периодическим,т.е.системавозвращаетсявравновесноесостояниебезколебательно- го процесса. Это может иметь место тогда, когда, например, силасо- противления среды больше силы упругости пружины.Такойхарактер движенияназываютапеpиодическимзатуханием.

3. вариант

Если₀, токорни₁и₂комплексныеипринимают значения

^1, 2



i

i,

гдеi— мнимое число,

— циклическая частота затухаю-

щего колебания.Такаяситуация имеет место тогда, когда силасопро-тивления среды меньше силы упругости пружины,т.е.F_упр>F_R.

Каждому значению корня_1,2соответствует частное решение. Об-

щеерешениенаходитсякаклинейнаякомбинациядвухчастныхре- шений:

1 2 1 2

_x(t)C*_e^{i}^t_C*_e^{i}^t_C*_et_eit_C*_et_eit_

1 2

^{C*et}^{costisint}^{C*et}^{costisint}^

e^t⎡cost(C^*C^*)sint(iC^*iC^*)^⎤.

⎣ ^{1 2 1 2⎦}

Переобозначив константыCC^*C^*,CiC^*iC^*, получим

1 1 2 2 1 2

1 2

x(t)e^t(CcostCsint).

Так какC₁costC₂sintA₀cos(t₀)

то

(см. параграф 6.3.1),

0 0

x(t)Ae^tcos(t). (6.40) Это и есть решение уравнения(6.39).

Собственные затухающие колебания маятника периодические, но

не являются гармоническими, так как амплитуда таких колебаний с течением времени уменьшается по экспоненте

0

AAe^t, (6.41)

где— коэффициент затухания.

Графикзатухающих колебанийx(t) показан на рис. 6.13. Зависи- мостьx(t) не выходит запределы

0

огибающих функцийxA e^tи

0

xA e^t.

Циклическая частотазатухаю- щихколебанийсвязанассобст-венной частотой пружинного ма- ятника_{0соотношением}

Условныйпериодзатухающих колебанийравен

Рис. 6.13

_T2_ 2



. (6.42)

Условныйпериод затухающих колебаний — наименьший проме- жуток времениТ, за который колеблющийся груз дважды проходитчерез положения равновесия, двигаясьводноми том женаправлении.Периодзатухающихколебанийгрузабольшепериоданезатухающих колебанийэтогожегруза,таккаксилысопротивлениятормозятдви- жение; тело возвращается к равновесному состояниюмедленнее.

На рис. 6.13 сплошной линией показана зависимостьx=x(t), штриховая линия проведена по максимальным значениям амплиту- ды затухающих колебаний.