4. Сложение взаимно перпендикулярных гармоническихколебаний

Рассмотрим сложениевзаимно перпендикулярныхколебаний. До-пустим,чтоматериальнаяточкаможетсовершатьколебаниякаквдольосиох,такивдольперпендикулярнойкнейосиоу.Вэтомслучаема- териальная точка будет двигаться по некоторой криволинейной тра- ектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний и ихамплитуд.

Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебанийодинаковой частоты при разности фаз, равной нулю

Сложимдвагармонических колебания, имеющих одинаковые час-тоты₁=₂=, начальные фазы, равные₀₁=₀₂= 0, происходя- щих вдоль осейxиy:

x(t)Acost,

y(t)Bcost.

Разделим второе уравнение на первое, получим уравнение траек-

тории результирующего движения_y^B_x.

A

Траекториярезультирующегоколебания—отрезок прямой, проходящейчерезначало ко-ординат и наклоненная к осиоxпод углом,

тангенс которого равен^B

A

(рис. 6.8).

Результирующее движение — гармониче-

ское колебание с амплитудойC ,

Рис. 6.8

частотой, совершающееся вдоль отрезка,

наклоненного к осихпод угломarctg^A.

B

Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебанийодинаковой частоты при разности фаз, равной

Сложим два взаимно перпендикулярных гармонических колеба- ния одинаковой циклической частоты, происходящих вдоль осейxиy, разность начальных фаз которых равна

xAcost, (6.29)

^yBcos^t^.

Так какcos(t)cost, то

yBcost. (6.30)

Разделив (6.30) на (6.29), получим урав- нение прямой с отрицательным значением

тангенса угла наклонаy^Bx(рис. 6.9).

A

Результирующее движение — гармониче-

ское колебаниесамплитудойC ,

частотой,совершающеесявдольотрезка, на-

клоненногокосихподуглом^⎛180arctg^A⎞.

Рис. 6.9

_⎝⎜ _B⎟⎠

Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебанийодинаковой частоты при разности фаз, равной

2

Сложим два взаимно перпендикулярных гармоническихколеба-

ния одинаквой циклической частоты, происходящих вдоль осейxи

y, разность начальных фаз которых равна^.

xAcost, ²

yBcos^⎛t^⎞.

(6. 31)

⎜_{⎝ 2⎟⎠}

Так какcos^⎛t^⎞sint, то

_⎝⎜ _2⎟⎠

yBsint

. (6.32)

Представим уравнения (6.31) и (6.32) в виде

^xcost,

A

^ysint.

B

Возведем уравнение в квадрат и сложим

_x2_y2

_A2B21. (6.33)

Уравнение (6.33) — уравнение эллипса с полуосямиАиВ(рис. 6.10).

Движение, происходящее по траектории (6.33), не являетсягармоническим.

Материальная точка описывает эллипс за

время, равное периоду складываемых коле-

банийT^{2. Если}^{, то движе-}

Рис. 6.10

_ 02 01₂

ние материальной точки по эллипсу проис-

ходит по часовой стрелке. Если^{, то движение проис-}

02 01 ₂

ходит против часовой стрелки. ЕслиА=В, то эллипс вырождается

в окружность.

При сложении взаимно перпендикулярных гармонических коле- баний с разными частотами результирующее движение будет проис- ходить по сложным траекториям, называемым фигурами Лиссажу. Форма фигур Лиссажу зависит от соотношения частот составляю- щих колебаний и разности их начальных фаз.

Вопросы и задания для самопроверки

1. В чем различие колебаний, получающихся в результате сложе- ния двух одинаково направленных гармонических колебаний одина- ковой частоты и с мало различающимисячастотами?

2. Чем различаются результаты сложения двух гармоническихко- лебаний одинаковой частоты, направленных вдоль одной прямой и взаимноперпендикулярных?

3. Прикакихусловияхврезультатесложения двух взаимно перпен-дикулярных колебаний одинаковой частоты получаются колебания, траекториями движения которых будут эллипс, круг иотрезок?

4. Покажите, что равномерное движение материальной точки по окружности можно представить как результат сложения двух взаим- но перпендикулярных колебаний.

5. Чтоизменитсявуравнении гармонических колебаний,еслинавек-торной диаграмме вращать вектор амплитудыпочасовойстрелке?

6. Можно ли с помощью векторной диаграммы найти результат сложения трех одинаково направленных гармонических колебаний однойчастоты?