4. Сложение однонаправленныхколебаний одинаковойчастоты

Под сложением колебаний понимают нахождение результирую- щих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновре- менно участвует в нескольких колебательных процессах. Различа- ют два случая:

• сложениедвухгармоническихколебанийодинаковойчастоты, происходящих вдоль однойпрямой;

• сложение гармонических колебаний со слегка отличающими- ся частотами, происходящими вдоль однойпрямой.

Сложениедвухгармоническихколебанийодинаковойчастоты,происходящих вдоль однойпрямой

Сложить два или несколько колебаний — значит найти уравне- ние, описывающее результирующее колебание. Эта задача в общем случаерешаетсяаналитически,новрядеслучаеввозможнографиче- скоерешениеметодомвекторныхдиаграмм(рис.6.6).Гармоническое

колебание на этой диаграмме представляе_�т собой колебания проек-

ц_�ииравномерновращающегосявектораAнаосьх.Модульвектора

Aравенамплитуде_�рассматриваемогоколебания, а угловая скоростьвращениявектораAравнаугловойчастотеколебаний_0�.Начальная

фаза колебания₀— это угол, образованный векторомAс осьюxв

начальный момент времени.

Пример сложения двух гармонических колебания, происходящих вдоль осих

x₁(t)A₁cos(₀t₀₁)иx₂(t)A₂cos(₀t₀₂₎. (6.22)

�

Изначала_�осиxпроведемподу_�глом_01векторA_1,подугл_�ом

_�02—векторA_2.Построи_�мв_�ектор_�A,равныйсуммевекторовA_1и

A₂. Проекции векторовA₁,A₂иAна осьxопределяют составляю-

щиесмещенияx₁,x_2ирезультирующеесмещениеxвнач_�альны_�ймо-

мент времени. Так как в процессе колебаний векторыA₁иA₂вра-

щаютсясоднойитойжеугловойс_�коростью₀,тостакойжеско_�-

ростью будет вращаться и векторA. Следовательно, проекцияA

на осьxтакже будет совершать гармоническое колебание, т. е. ре-

Рис. 6.6

зультирующее движение является гармони- ческим колебанием с частотой₀. Изрис.

6. видно, что в начальный момент времениxx₁x₂Acos₀, впроизвольный моментвремениx(t)x₁(t)x₂₍t)Acos(₀t₀₎, гдеAи_0—амплитудаиначальнаяфазаре- зультирующегоколебания.

ИзтреугольникаΔOA₁Aпотеоремекоси-

нусов для момента времениt= 0 имеем:

A



(6.23)

tg

_A1sin₀₁A₂sin₀₂

. (6.24)

⁰AcosAcos

1 01 2 02

Выделим три характерных случая:

• если разность начальных фаз₀₂–₀₁колебаний равна 0 или 2n, гдеn= 1, 2, …, то колебания находятся в фазе и амплитуда ре- зультирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых ко- лебаний:A=A₁+A₂,т.е. колебания усиливают другдруга;

• еслиразностьфаз₀₂–₀₁₌(2n+1),колебаниянаходятсяв

противофазе,AA₁A₂и они максимально ослабляют друг друга.

В частности, еслиA₁A₂, наблюдается полное гашение колебаний.

• взависимостиотразностифазамплитударезультирующегоко-лебания может принимать любые значения, лежащие винтервале

A₂A₁AA₁A₂.

Сложение гармонических колебаний со слегка отличающимисячастотами, происходящими вдоль одной прямой

Сложимдваколебания, происходящиевдоль осих,имеющие одина-ковые амплитудыA₁=A₂=Aиначальные фазы, равные₀₁=₀₂= 0

x₁(t)Acos₁t,

x₂(t)Acos₂t,

причем₁₂

тически.

₁и₁₂

₂. Сложение произведем анали-

Результирующее смещениеxравно сумме смещений составляю- щих колебанийx₁иx₂:

x(t)x₁(t)x₂(t)Acos₁tAcos₂tA(cos₁tcos₂t). (6.25)

После преобразования получим

x(t)^⎛2Acos^{12t⎞cos12t}. (6.26)

^⎝⎜ 2 ^⎟⎠ 2

Из двух сомножителей, содержащих косинус, первый изменяется современемгораздомедленнеевторого.Этопозволяетсчитатьколе- бание(6.26)«почти»гармоническимс«амплитудой»,изменяющейся со временем по периодическомузакону

A(t)2Acos^12t. (6.27)

2

Колебания с периодически изменяющейся амплитудой называют-ся биениями.

Частота колебаний амплитуды или частота биений равна

 _2

₁₂

, (6.28)

где₁

_1

2

и₂

_2

2

• частоты составляющихколебаний.

Чемменьше отличаютсячастотысоставляющих колебаний, тем меньше частота биений.

ВеличинаA(t),характеризующаяразмах колебанийприбиениях, изменя-

ется впределахот A₂A₁доA₁A_2с

циклическойчастотойΩ_1_2,на-зываемой циклической частотойбие-

Рис. 6.7

ний. Поскольку частота биений во много раз меньше частоты коле- банийΩ<<₁, то переменную величинуA(t)условно называютам-плитудой биений. Период биений равен

_T2 _.

₂₁

Характер зависимостихот времениtпри биениях показан на рис. 6.7.