Задача 6.5

Насколькобудутотставатьзасуткичасыссекундныммаятником,еслиихперенестиизподваланаверхнийэтажздания?Расстояние междуними—200м.

Дано:h= 200 м;t_c= 24 · 3600 = 8,64 · 10⁴с. Найти:Δt.

Маятник часов за сутки должен совершитьN^tc

T₁

колебаний,

гдеT₁— период колебаний маятника в подвале. Если период коле- баний маятника на верхнем этаже обозначитьТ₂, то за сутки часы отстанут на

ΔtN(T₂T₁).

Периоды колебания часов до и после переноса равны

T₁2

Отношение периодов

,T₂

2 .

^T1 .

T₂

Из закона всемирного тяготения следует, что

⎜_⎝

^g ⎛^R⎞2

2_{ ⎟,}

g₁ Rh^⎠

гдеR— радиус Земли. Отсюда следует, что

_TTRh

иΔtN(T

• T)^NhT.

2 1_R 2 1 _R1

Ответ: отставание часов за сутки при переносе их с подвала на верхний этаж 2,7 с.

Задача 6.6

АмплитудагармоническихколебанийгрузапружинногомаятникаА= 2 см, полная энергияW= 0,3 мкДж. При каком смещении грузахот положения равновесия на груз действует силаF= 22,5мкН?

Дано:A= 2 см = 0,02 м;W= 0,3 мкДж = 3 · 10^–7Дж;

F= 22,5 мкН = 2,25 · 10^–7Н.

Найти:х.

Запишем уравнение гармонических колебаний точки в общем виде

xAsin(₀t₀).

Найдем скорость точки, взяв производную от функциих(t) по вре- мени

v^dxA

^xdt

₀cos(₀t₀).

Полнаяэнергиясистемы,равнасуммепотенциальнойикинети- ческойэнергий

kx²

mv²

kA²

mA²²

W  ^x sin²(t) ⁰cos²(t).

2 2 2

Учитывая, что²^k

0 0 ₂ 0 0

, получим

0_m

kA²

W

2

sin²(t)

mA²k

2m

cos²(t)

kA²

.

2

0 0

0 0

Коэффициентупругостипружинынаходитсячерезполнуюэнер- гиюиамплитудуколебания

_k2E

_A2.

Модуль квазиупругой силы, дeйствующей на груз в процессе ко- лебаний, равен

F=kxилиF^2Ex.

_A2

Ответ: смещение грузахот положения равновесия при действии силыF= 22,5 мкН равно

Задача6.7

FA²

x 1,5см.

2E

Однородный диск радиусаRколеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей на расстоя- нииdот центра диска. Каков период его колебаний?

Дано:R. Найти:T.

Период колебаний физического маятника

T2 ,

гдеd— расстояние от оси вращения до точки приложения силы тя- жести. Согласно теореме Штейнера момент инерцииIотноситель- но оси, не проходящей через цент тяжести диска,

2

II₀m,

гдеI₀— момент инерции диска относительно оси, проходящей че- рез центр тяжести;m— масса диска; — расстояние между осями, равноd.

Учитывая, чтоI¹mR², получим

2

I¹mR²md².

2

Ответ: период колебания физического маятника равен

T2 .

Задача 6.8

Ареометр,имеющийформуцилиндрическойтрубки,массойmис поперечным смещениемS, помещенный в жидкость с плотностью, совершает свободные колебания около положения равновесия. Вы- числить период колебанияареометра.

Дано:m;S;. Найти:Т.

Ареометр — прибор для измерения плотности жидкости. Ось ци-

линдрической трубки ареометра перпендикулярна ее поверхности.

mg

�

Наплавающийареометр_�действуетсилатяжести ,направленная

вниз, и сила АрхимедаF_A, направленная вертикально вверх. В по-ложении равновесия

mggSh,

гдеSh— объем погруженной части прибора.

Если погрузить ареометр на глубинуh+x, то условие равновесия нарушится и, на ареометр будет действовать результирующая сила

FgShgSxmggSx.

Таккак,g,S— константы, тоF=kx, гдеk=gS. Результирую- щаясила,действующаянаареометр,подобнаупругойсиле,действую-щей груз, висящий на пружине. Силы, не являющиеся упругими по своей природе, но подобные упругим силам по характеру зависимо- сти от координаты, называются квазиупругими. Под действием ква- зиупругойсилыдвижениеареометраописываетсятакимижеуравне- ниями, как и пружинный маятник. Следовательно, период колеба- ния ареометра можно вычислить поформуле

T2 2 .

Ответ: период колебания ареометраT2 .