Вопросы и задания для самопроверки

1. Как изменится частота, максимальная скорость, максимальноеускорениеиполнаямеханическаяэнергиягармоническихколебаний, если удвоить амплитудуколебаний?

2. Двателасодинаковымимассамиподвешеныкдвумодинаковымпружинам.Телаоттягиваютвниз—однона10см,другоена20см— и затем одновременноотпускают.

Какое из них первым пройдет положение равновесия?

3. Отличается ли максимальное значение кинетической энергии грузапружинногомаятникаотмаксимальногозначенияпотенциаль- ной энергии деформированнойпружины?

4. Отличается ли циклическая частота колебаний кинетической энергии от циклической частоты колебаний потенциальной энер- гий пружинногомаятника?

5. МатематическиймаятникдлинойL=1мподвешенкпотол-

ку кабины, которая начинает опускаться вертикально с ускорением

a^g. Определить периодTмалых колебаний маятника.

4

6. Какуюдлинудолжениметьматематическиймаятник,чтобыего

период колебаний был равен одной секунде?

7. Докажите, что скорость математического маятника достигнет максимального значения, если его угловое смещение равнонулю.

8. Твердоетело закреплено таким образом,что осьвращенияzпро-ходит через точку приложения силы тяжести. Является ли это тело физическиммаятником?

9. Период колебаний физического маятникатембольше,чемболь-ше расстояние от точки приложения силы тяжести до оси вращения. Верно ли этоутверждение?

Примеры решения задач

Задача 6.4

РассказМюнхгаузена:«Как-то, гуляя,яневзначай забралсявгоры.Захотелосьузнать,накакойвысотеянахожусь.Ксчастью,вмоейдо- рожной сумке оказались маятниковые часы. Держа их в правой руке неподвижно, я начал сравнивать ход механических часов с показа- ниями электронных часов на левой руке. За час маятниковые часы отсталиотэлектронныхнапятьсекунд,иясразупонял,накакойвы- сотенахожусь».Вычислитеэтувысоту.

Примечание: Маятник часов сделан из такого сплава, что длина его от температуры независит.Электронные часы — точные.Радиус Земли примите равнымR= 6400км.

Дано:t= 1 ч = 3600 c;R= 6400 км = 6,4 · 10⁶м;Δt= 5 c.

Найти:h.

Из второго закона Ньютона найдем ускорение свободного паде- нияg_hна высотеhнад поверхностью Земли (на тело массой m дейст- вует только гравитационная сила)

_G Mm

(Rh)²

maилиg_h

G ^M .

(Rh)²

Наповерхности Земли(h= 0)ускорениесвободного падения равно

gG^M.

_R2

Таким образом, при подъеме на высотуhускорение свободного падения уменьшается

2

g_(Rh)²GM_(Rh)²

g_h GM R

_R2.

Период колебаний маятниковых часов на поверхности Земли и на высотеhравны соответственно

а их отношение

T2 иT_h

^T 

T

2 ,

 ^R ,

Rh

h

где

_TT(Rh)_.

h _R

Так как при подъеме на высотуhускорение свободного падения уменьшается, то период колебаний маятника на высотеhувеличит- ся наΔT

ΔTTT^T(Rh)TT^h.

^h R R

Если за одно колебание на высотеhпериодTувеличивается наΔT, то за времяt, равное 3600 с, на этой же высоте суммарныйпери-од колебания увеличится наΔt,т.е.

Δt_ΔT

т. е.Δt^th

или

t T R

_hRΔt_.

t

Ответ: высота, на которую поднялся Мюнхгаузена, равна 8889 м.Примечание: Полученная высота чуть больше высоты Джамалун-гмы (8848 м) — самой высокой вершины на Земле. Сомнений в пра-вильности расчетов не должно быть, поскольку при решениибыли

приняты допущенияΔt=ΔT.