2. Физическиймаятник

Физический маятник—абсолютно твердое тело, совершающее ко-

mg

лебание под действиемсилытяжести ^�вокруг неподвижнойгори-

зонтальнойосиz,непроходящейчерезцентртяжеститела.Силатяже- стиприложенакцентру тяжести тела, расположенномнарасстоянииdотосивращения(рис. 6.4).Колебательное движение физическогомаят-

ника удобнее всего изучать, исполь- зуяосновное уравнение динамикивращательногодвижения.

Составим дифференциальное уравнение колебаний маятника и найдем его решение. Уравнение движения и закон движения запи- шем в скалярной форме. В качест- ве переменной величины выберем угловое смещение. Это угол от-

Рис. 6.4

клонения маятника от положения равновесия. Пусть маятник откло-

нен от положения равновесия на малый угол. При малых углах си-

лой сопротивления среды можнопренебречь.

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения (второй закон Ньютона для вращательного движения) (см. гл. 5)

M(m^�)J, (6.13)

g

z^g z

гдеM_z

(m^�)

• момент силы тяжести относительно осиz,J_z

– мо-

мент инерции маятника относительно оси вращенияz,

ловое ускорение маятника.

d²

_dt2— уг-

Пустьвданныймоментвремен_�иприращениеуглаd_�0.Вэтомслучае векторы угловой скоростии углового ускорениянаправ-

лены вдоль осиzи параллельны этой оси. Так как сила тяжести по-

g

z

ворачивает маятник по часовой стрелке, то моменту силыM(m^�)

следует приписать знак минус (–), т. е.

g

z

M(m^�)mgdsin,

гдеhdsin— плечо силы тяжести (рис. 6.4). Плечо — кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращенияz.

Дифференциальное уравнение движения физического маятника (6.13) принимает вид

mgdsinJ_z

d²

_dt2. (6.14)

При малых углахфункцию sinможно разложить в степен- ной ряд

_3_5 _2n1

sin  (1)ⁿ

...

(6.15)

3! 5!

(2n1)!

Если ограничиться первым членом разложения (6.15) и обозна- чить

mgd_2,

J

0

z

то уравнение (6.14) примет вид

2

^d2^

_dt2 ⁰

0. (6.16)

Уравнение (6.16) аналогично уравнению (6.9), следовательно, и решения уравнений одинаковы.

Таким образом, при малых углахколебательное движение фи-

зическогомаятника,какиколебательноедвижениепружинногома- ятника,являетсягармоническим,аименно

_maxsin(₀t₀₎. (6.17)

где_max— максимальное значение углового смещения маятника от положения равновесия,₀— начальное значение фазы. Циклическая частота и период колебания физического маятника вычисляются со- ответственно по формулам

₀

T^22 . (6.18)

₀

Прималыхугловыхсмещенияхпериодколебаниямаятниканеза-висит от амплитуды_maxи начальных условийдвижения.

Формулы(6.18)могутбытьиспользованыдляэкспериментально- го нахождения момента инерции тел сложной формы относительно выбранной осиz.

Рис. 6.5

3. Математическиймаятник

Математический маятник — мате- риальная точка, подвешенная на не- весомой нерастяжимой нити и совер- шающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяже- сти (рис. 6.5).

Математический маятник представ-ляетсобойпредельныйслучайфизиче- скогомаятника,всямассакоторогосо-средоточена в точке.Тогдарасстояние от точки приложения силы тяжестидо

оси вращения равно длине нитиl(рис. 6.5). Так какd=l, то момент инерции и циклическая частота такого маятника относительно оси вращения равны соответственно

2

J_zml,

_0 

mgl_

ml²

. (6.19)

Дифференциальное уравнение колебаний математического маят- ника при отсутствии сопротивления среды такое же, как и для физи- ческого маятника и имеет вид

^d2^

dt^{2 00.}

Такимобразом, при малых углах отклоненияот вертикали дви- жениематематическогомаятникапредставляетсобойгармоническое колебание, описываемое формулой(6.10)

_maxsin(₀t₀₎, (6.20)

в которой_0 .

Период колебаний математического маятника вычисляется по формуле

T^22 . (6.21)

₀

Период колебаний не зависит от массы маятника m и амплитуды углового смещения_max.

Математический маятник используется в технике. Например, в геологии по измеренным значениямТиlвычисляют ускорение сво- бодного падения для данной местности. Если в земной коре на ис- следуемой территории имеется неоднородность, то величинаgотли- чается от стандартного значения. По этой аномалии можно предпо- ложить наличие полезных ископаемых.