Задача 6.3

Точкасовершает гармонические колебания. В некоторый момент времениt_{1смещение}х₁₌5см.Приувеличениифазывдвоесмещение точки сталох₂= 8 см. Найти амплитудуАколебаний.

Дано:х₁= 5 см;х₂= 8 см. Найти:А.

Уравнения гармонических колебаний для смещения в обоих слу- чаях:

x₁Asin(₀t₁₀),

x₂Asin(₀t₂₀).

Согласно условию задачи

2(₀t₁₀)₀t₂₀.

Обозначим₀t₁₀; тогда уравнения для смещения могут быть представлены в виде

x₁Asin,

x₂Asin 22Asincos.

Полученные уравнения преобразуем к следующему виду:

_x2

x²²A²sin²A²sin²cos²A²sin⁴.

1₄

Учитывая, чтоx₁Asin, получаем

_x2_x4

x²²¹,откудаA .

¹_{4 A}2

Ответ: амплитуда гармонических колебанийА= 8,3 см.

3. Динамика механических гармоническихколебаний

Выясним природу сил, создающих гармонические колебания. По второмузаконуНьютонапроекциясилы,действующейнаматериаль- нуюточку,с учетом (6.4),равна

FmaA²msin(t)m²x. (6.5)

0 0 0 0

Вывод:сила,вызывающаягармоническиеколебания,пропорциональ-на смещению колеблющейся точки от положения равновесия и всегда направленаположениюрав-

новесия.

Рассмотрим колебания груза, висящего на пружи- не (рис. 6.3)

1. Если пружина растя-нута,токоординатагру-за отрицательна, следова- тельно, проекция силы на осьхположительная. Этовозможно,когдавекторсилы параллеленосихи

направлен к точке равно-

весия.

Рис. 6.3

2. Если пружина сжата, то координата груза положительна, сле- довательно, проекция упругой силы на осьхотрицательна. Это воз- можно, когда вектор силы антипараллелен осихи направлен к точке равновесия. В положении равновесия сила, вызывающая колебания, на материальную точку недействует,т.е. прих= 0,F=0.

Таким образом, условию (6.5) удовлетворяют упругие силы. Гар- монические колебания могут быть вызваны также силами, которые не являются упругими по своей природе.

Вывод:силы, не являющиеся упругими по своей природе, но подоб-ные упругим по характеру зависимости от координаты, называются квазиупругими.

Ниже приведены примеры колебаний систем, совершающихся в отсутствии сил трения и сопротивления среды.

1. Пружинныймаятник

Пружинныммаятникомназываютсистему,состоящуюизупру- гойневесомойпружиныскоэффициентомупругостиkигрузамас- сойm.

На рис. 6.3 показаны: 1 — естественная длина пружины; 2 — со- стояние равновесия маятника; 3 — мгновенное состояние колеблю- щейся системы.

Составим дифференциальное уравнение колебаний пружинного маятника и найдем его решение. Начало координат совместим с по-

ложением равновесия маятника (положение 2 рис. 6.3). Осьхнапра-

mg

�

вимверти_�кальновниз.Нагруздействуетсилатяжести исилауп-

ругостиF_у_пр. В положении равновесия векторная сумма сил, дейст- вующих на груз, равна нулю

_� �

mgF_у_пр0.

Проекция векторного уравнения на ось х

F_у_прmg0илиkΔxmg, (6.6)

гдеΔx— деформация пружины в состоянии равновесия,k—коэф-фициент упругости. Если груз отклонить от положения равновесия в туилиинуюсторону,торезультирующаясила,действующаянатело, не равна нулю. По второму закону Ньютона система придет вдви-

жение с ускорениема

� ^� �

mgF_упрma^.

a

Если вектор ускорения^�в данный момент времени паралле-

лен осиx, то проекция данного векторного уравнения на осьxиме- ет вид

d²x

mgk(Δxx)m .

dt²

С учетом (6.6), обозначив²^k

, получим

0_m

d²x

^2x0. (6.7)

_dt2 ⁰

Второй закон Ньютона, записанный в форме (6.7), есть диффе- ренциальное уравнение собственных колебаний груза на пружине в отсутствии силы сопротивления. Для решения этого уравнения вос- пользуемся методом Эйлера.

Поэтомуметодурешениеуравнения(6.7)выберемввидеx(t)Ce^{t, где}С— произвольная константа,— неизвестная константа. Для нахождения этих константподставим

2

_tdx(t) _dx(t) _

x(t)Ce,

Ce^t,

dt

dt²

C²e^t

в (6.7), получим тождество

C²e^t²Ce^t0илиCe^t(²²)0.

0 0

0

Так как из трех сомножителей два не равны нулюС0 иe^t0, следовательно,(²²)0. Отсюда вычисляется первая констан-

та:

^1,2^

i₀,

гдеi— мнимая единица, (i ).

Двум значениям корня_1,2соответствуют два частных решения. Общее решение находится как линейная комбинация двух частных решений

xC^*ei⁰tC^*ei⁰t^⎡т.к.ei⁰tcostisint^⎤

1 2 _⎣ 0 0_⎦

1 0 1 0 2 0 2 0

C^*costC^*isintC^*costC^*isint

1 2 0 1 2 0

(C^*C^*) cost(iC^*iC^*) sint.

Введем новые обозначения:C^*C^*C,iC^*iC^*C, получим

1 2 1 1 2 2

xC_1cos₀tC_2sin₀t. (6.8) Решение (6.8) запишем вформе

xAsin(₀t₀)

(6.9)

То, что выражения (6.8) и (6.9) эквивалентны друг другу, следует из тригонометрического тождества

Asin(₀t₀₎A(cos₀tsin_0sin₀tcos₀₎. (6.10) Из (6.8), (6.9) и (6.10)следует

C₁cos₀tC₂sin₀tAcos₀tsin₀Asin₀tcos₀.

Приравняв соответствующие коэффициенты при одних и тех же тригонометрических функциях, получим

C₁Asin₀,

C₂Acos₀,

AC²C²,arctg^C1.

C

1 2 0

2

КонстантыС₁иС₂находят из начальных условий, при этом луч- ше воспользоваться уравнением (6.8).

Приt= 0,x=х,^dxv, гдеx— начальная координата тела, v —

0_{dt 0} 0 0

начальная скорость.

Подставив начальные условия в уравнения

xC₁cos₀tC₂sin₀t,

^dxvC

sintC

cost,

получим ^dt

1 0 0 20 0



С=x,C^v0.

1 0 ₂

0

Отсюда амплитуда и начальный сдвиг фазы равны

x

A ,₀

arctg^{0 0}.

v

0

Уравнение колебания груза на пружине имеет вид

v² x

xx²⁰sin(tarctg^{0 0)}. (6.11)



v

⁰ 2 ⁰

0 0

Зависимости скорости и ускорения груза от времени найдем, взяв производную от (6.9):

v^dxA

^xdt

d²x

₀cos(₀t₀),

a A²sin(t).

^x_dt2 ^{0 0 0}

Кинетическая энергия груза

mv^2mA22

W  ⁰cos²(t),

K ^{2 2} 0 0 22

совершающего гармонические колебания, изменяется от 0 до^m0A.

2

Циклическаячастотаколебанийкинетическойэнергииравна2_{0, так}как

_{cos2(t)1}cos 2(₀t₀)_.

0 0 ₂

Потенциальная энергия груза

kx^{2m2x2m2A2}

W  ⁰  ⁰ sin²(t)_,

П _{2 2 2} 0 0

совершающего гармонические колебания под действием силы упру-

m²A²

гости пружины, периодически изменяется от0до ⁰ сцикли-

ческой частотой2₀.

Полная энергия груза

m²A²

WW_КW_П

m²A²

2

m²A²

 cos²(t) ⁰ sin²(t) ⁰

(6.12)

₂ 0 0 ₂ 0 0 ₂

• величинапостоянная.

Колебания любой физической величины, характеризующей мате- матический маятник, включая смещениехгруза, записанное в фор- ме(6.11),называютсобственныминезатухающимиколебаниями.Ве-

личины_0 иT2 называют собственнойциклической

частотойипериодомколебаниймаятникасоответственно.Чемболь- ше масса грузаmи меньше коэффициент упругостиkпружины, тем медленнее происходят колебания. Полная энергия колеблющегося груза остается постоянной, так как движение происходит без прито- ка и без потерьэнергии.