Вопросы и задания для самопроверки

1. Приведите примеры колебаний, которые Вы наблюдали в ок- ружающейдействительности?

2. Можнолисчитать гармоническим колебательнымпроцес-сомсуточное вращение Земли вокруг своей оси, годичное—во-кругСолнца?

3. Можнолисчитатьколебаниядыхательнойисердечнойдеятель- ностигармоническими?

4. Покажите, что при гармонических колебаниях не только сама колеблющаяся величина, но и ее скорость и ускорение совершают гармоническиеколебания.

5. Покажите, что изменение координаты со временем опережает изменение скорости со временем по фазе на 1,57радиан.

6. Что такое собственная частота гармоническогоосциллятора?

7. Если частица совершает гармонические колебания с амплиту- дойА, то, какое расстояние она проходит за один период?

8. Каким образом можно удвоить максимальную скорость гармо- ническогоосциллятора?

Примеры решения задач

Задача 6.1

Материальная точка совершает гармонические колебания с час- тотой= 10 Гц. В момент времениt= 0 точка имеет максимальное смещениех_max= 1 мм. Написать уравнение движения материальной точки.

Дано:= 10 Гц;х_max= 1 мм = 0,001 м.

Найти: уравнение движения материальной точки. Максимальное смещение точки от положения равновесия — ам-

плитуда колебанийх_max, циклическая частота колебаний₀2. Уравнение имеет вид

xx_maxsin(2t₀).

Найдем начальную фазу₀. Из условия задачи приt= 0x=х_max,т.е.

x x sin

или1sin,(2k1)^,

max max 0

гдеk= 0, 1, 2,…

0 0 ₂

Изменение фазы на 2не меняет колебаний, следовательно, дос- таточно рассмотреть случайk= 0. Получим начальный сдвиг фазы

^.

0₂

С учетом начального сдвига фазы уравнение движения матери- альной точки имеет вид

xx_max

sin(2t^).

2

Если подставить численные значения, то

x0, 01sin(210t^), м.

2

Ответ: уравнение движения материальной точки имеет вид

x0, 01sin(62,8t^), м.

2

Задача 6.2

Материальнаяточкасовершаетгармоническиеколебаниясчасто-той=0,5Гц.АмплитудаколебанийА=3см.Определитьвеличины скорости и ускорения точки, когда смещениех= 1,5см.

Дано:= 0,5Гц;А= 3 см;х= 1,5 см. Найти:v,a.

Уравнение гармонических колебаний

xAsin(₀t₀).

Так как движение происходит вдоль осих, то скорость всегда на- правлена вдоль этой оси.

Посколькудвижениеколебательное,тонаправлениескоростимо-жет быть параллельной или антипараллельной осих. Следователь- но, проекция вектора скорости на эту осьv_xv, где v — модуль скорости.

vA₀cos(₀t₀).

0

Чтобы выразить скорость через смещение, нужно исключить из приведенных уравнений время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделим первое из них наА², второе — наА²²и, сложив,

получим

_x2_v2

0

_A2

или, учитывая, что₀2,

_A2_2¹

_x2

_A2

_v2

4²²A²

1.

Решая полученное уравнение относительно v, находим

Ускорение

v2 .

a^dxA²sin(t)²x4²²x.

^xdt

0 0 0 0

Величина ускорения — положительная, поэтомуa4²²x.

Ответ: величины скорости и ускорения равны v = 8,2 см/с,а= 59,16 см/с².