Глава 6механические колебания и волны

1. Понятие колебательногодвижения

Среди процессов, совершающихся в природе и технике, весьма распространеннымиявляютсяколебания.Система,совершающаяко-лебания, называется колебательнойсистемой.

Колебание— этофизический процесс, характеризующийся повто-ряемостьювовремениипространстве. Например, волнение моря, дви-жение маятника часов, биение сердца, звук, переменный ток ит.д.

Впроцессеколебанийзначенияфизическихвеличин,определяю- щихсостояниеобъекта,черезравныеилинеравныепромежуткивре- мениповторяются.

Колебания называются периодическими, если значения изменяю- щихся физических величин повторяются через равные промежутки времени.

Колебание обусловлено тем или иным воздействием на колеблю- щуюся систему. В зависимости от характера воздействия, вызываю- щего колебания, различают следующие периодические колебания: свободные или собственные, затухающие, вынужденные, автоколе- бания и параметрические.

Свободныеилисобственныеколебания—этоколебания,происхо- дящие в системе, предоставленной самой себе после выведения ее из состояния устойчивого равновесия. Пример: колебания груза на пружине.

Вынужденныминазываютсяколебания,впроцессекоторыхколеб-лющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Пример: колебания моста, возникающие при прохождении по нему колонны войск, шагающих вногу.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил. Однако мо-

менты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой,т.е. система сама управляет внеш- ним воздействием. Например, автоколебательной системой являют- сячасы,вкоторыхнамаятникдействуетсилатяжестиподнятойгири или сила упругости пружины. Эти действия происходят в моменты прохождения маятника через положениеравновесия.

Различные по своей природе колебания (механические, электро- магнитные и т. д.) обнаруживают много общего: они подчиняются одним и тем же закономерностям, описываются одними и теми же уравнениями, исследуются одними и теми же методами. Это дает возможность создать единую теорию колебаний. Рассмотрение тео- рии колебаний в полном объеме требует знаний специальных раз- делов математики. Поэтому ограничимся рассмотрением лишь ос- нов этой теории.

2. Кинематика механических гармоническихколебаний

Простейшимтипомпериодическихколебанийявляютсягармо- нические колебания. Закономерности, которым подчиняютсягар- монические колебания, важно знатьпотому,что многие реальные колебания близки к гармоническим, а периодические негармони- ческиеколебанияестьрезультатсложениянесколькихгармониче-скихколебаний.

Рассмотрим механические гармонические колебания материаль- ной точки.

Механическое гармоническое колебание — это такое прямоли- нейное неравномерное периодическое движение, при котором рас- стояниехот положения равновесия материальной точки до коорди- наты, в которой в данный момент времени она находится, описыва- ется уравнением

xAsin(₀t₀₎, (6.1) гдех— координата материальной точки в момент времениt.

Расстояниехматериальнойточкиотположенияравновесиядоточ-

ки, в которой в данный момент времени она находится, называют сме-щением.

Наибольшее смещение материальной точки от положения рав- новесия называется амплитудой колебания и обозначается буквойA.

Аргумент при тригонометрической функции=₀t+₀называется фазой колебаний. Фаза в процессе колебаний монотонно возрастает. За одно полное колебание она получает приращение, равное 2. Ве- личина₀t— приращение фазы за промежуток времениt, величина

_0—значениефазывначальныймоментвремени.Коэффициент₀

называют циклической (круговой или угловой)частотой.

Циклическаячастота—величина,характеризующаябыстротуиз- менения фазы с течением времени и равная приращению фазы за единицувремени,

^0. (6.2)

0 _t

Наименьший промежуток времени Т, по истечении которого значе-ние изменяющейся физической величины повторяется:

• по модулю и направлению, если эта величинавекторная,

• по величине, если она скалярная, называется периодом колеба-ний этойвеличины.

За период колебанийТсистема совершает одно полное колеба- ние. Число полных колебаний, совершаемых колеблющейся вели- чиной за единицу времени, называется частотой колебаний. За еди- ницу частоты принимается частота такого колебания, при котором за 1 с совершается одно полноеколебание.

Частотаизмеряетсявгерцах(Гц).Периодичастотаколебанийсвя- заны соотношением^1.

T

Установим связь между₀иТ. За времяТфаза возрастает на 2.

Подставив в (6.2)t=Tи₀

2, получим₀

^22. Цик-

T

лическая частота определяет число полных колебаний за 2с.

Графическоепредставлениеуравнения гармонического коле- бания приведено на рис. 6.1 (Для наглядности построения графика значение начальной фазы₀= 0).

Гармоническое колебание — движение пространственно огра- ниченное, т. е. в процессе колеба-

Рис. 6.1

ний смещение материальной точки

не выходит за пределы отрезка 2А. За одно полное колебание в каж- дой точке траектории колеблющаяся точка бывает дважды: один раз

• двигаясь в одном направлении, другой раз — вдругом.

Найдем зависимости проекций скорости и ускорения от време- ни при гармонических колебаниях. С этой целью вычислим первую и вторую производные от(6.1)

v^dxA

cos(t)Asin(t^), (6.3)

^xdt

d²x

0 0 0 0 0 0₂

a A²sin(t)A²sin(t). (6.4)

^x_dt2 ⁰

0 0 0 0 0

Из (6.3 и 6.4) следует, что проекции скорости и ускорения гармо- нически колеблющейся материальной точки также совершают гар- монические колебания с той же циклической частотой₀. Амплиту-

ды соответственно равныA₀иA. Начальная фаза скорости равна

0

0

2

^⎛^{⎞, т. е. разность фаз скорости и смещения постоянна и рав-}

⎜

0 ⎟

⎝ _2⎠

на^

2

(скорость опережает смещение на^{). Начальная фаза уско-}

2

рения равна(₀), т. е. разность фаз колебаний ускорения и сме- щения постоянна и равна(ускорение опережает смещение по фазе на). Графики зависимости смещениях, скорости v_хи ускоренияa_х

от времени при гармонических колебаниях для случая₀0

заны на рис 6.2.

пока-

Из рис 6.2 видно, что смещение и ускорение при гармонических колебаниях происходят в противофазе, т. е. если смещениехмакси- мально, то ускорениеаминимально и находится в противофазе.

Величинафазы₀t₀невлияетнаформукривойx(t),а определяет лишь ее по-

ложение в произвольный мо- ментt. Частота и период ко- лебаний также не зависят от амплитуды.

Траектория материаль- ной точки — движение про-

странственноограниченное, _Рис.6.2

периодическое, прямолинейное,невыходящеезапределыотрез-ка2А.

Систему,совершающую гармонические колебания, называют (на- пример, в электромагнетизме) гармоническим осциллятором.