6. Производные сложныхфункций

Приведенные в предыдущем параграфе правила и формулы диф- ференцированияпозволяютнаходитьпроизводныеотфункцийтоль- ко в самых простых случаях. Знания этих правил и формул недоста- точнодлядифференцированияфункцийболеесложноговида,таких,

например,какy(t)=

или y (t) = 3 cos2t. В подобных случа-

ях пользуются более общими формулами дифференцирования, осно- ванными на теореме о производной функции от функции.

Пустьyестьфункцияотu:y=f(u),гдеuвсвоюочередьфункция от аргументаx:u=(x); в таком случаеговорят,что y есть функция от функции. Очевидно, можно записатьy=f((x)). Еслисуществу-

^{ютпроизводныеf}_u^=f^uиu_x^^x^{,тосуществуетипроизвод-}

ная отyпоx, причем имеет место равенство

y^f_u^u_x^. (2.17)

Индексыуказывают,покакойпеременнойпроизводитсядиффе- ренцирование.Покажем,какпользоватьсяформулой(2.17).

Пример1.Найтиy^,еслиy_x^25x7_8.

^{Полагаяux25x7,имеемyu8.Поформуле(3)y8u72x5}^,

или,окончательноy^8_x^25x7_72x5.

Пример 2.Найтиy^{, если}yln_x³7x2_.

Принимая в данном случае заu=x³7x2и пользуясь форму-

лой (10), получаем

y^

3x²7

.

x³7x2

Многие физические величины определяются как производные

по времени от других физических величин. Например,скорость^�—

_� v

первая производная радиус-вектораrпо времениt. Обозначается это

следующимобразом:

�

_v�_dr

или^{���..} (2.18)

_dt v r_tr

Ускорение^�—первая производная скорости^�по времени t

�

a _�

_adv

v

или^{���..} (2.19)

_dt a v_t v

Сила тока I—первая производная заряда q по времени t(или, что то же самое, скорость изменения заряда)

_Idq

dt

илиIq_t^q^.. (2.20)

Электродвижущая сила индукции— взятая со знаком «минус»пер-вая производная магнитного потока Ф по времени

^{dФили=–ФФ·. (2.21)}

dt t

Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение дифференциала функции вточке.

2. Дайте определение производнойфункции.

3. Поясните геометрический смысл производной и дифферен- циала.

4. Поясните механический смыслпроизводной.

5. Пользуясьтаблицейпроизводныхиосновнымиправиламидиф- ференцирования (формулами 2.12–2.19), найдите производные от следующихфункций:

1)y9x²2x3,

2)y6x³3x4,

3. y5xlnx3sinx,

4. y7lnx^32cosx,

5. yx³lnx,

6. yx²sinx,

7. ytgx³cosx,

8)y= ,

9)y= 3cos 2x.

6. Приведите примеры физических величин, которые являются производными от других физических величин по времени.

Примеры решения задач

Задача 2.1

Радиус-век_�торматериал_�ьнойточкименяетсясовременемпозако-

_� �

нуr(t) = 2t²ⁱ+ 3tj+ 4k, м. Найти: 1) зависимость скорости точ-

ки от времени^�(t), 2) зависимость модуля скорости от времениv(t),

v _�

3) зависимость ускорения точки от времениa(t), 4) зависимость мо- дуля ускорения от времениa(t), 5) значения скорости и ускорения в

моментвремениt=_�1сотначал_�адвижения.

_� �

Дано:r(t) = 2t²ⁱ+ 3tj+ 4k, м;t= 1 c.

^{Найти:�(t),v(t),�( ),a}^t^,v,a.

v _� at _�

1. Скоростьv— первая производная радиус-вектораrповреме-

ни. Поэтому для нахождения зависимости^�(t) достаточно продиф-

^v � �

ференцировать по времени заданную зависимостьrr(t):

 

�

dr

^� � � ^� � � ^� � �

2

v(t) =2ti3tj4k =4ti3j0k=4ti3j,м/c. (1)

dt ^t

2. Модуль вектора определяется по теореме Пифагора как корень из суммы квадратов компонент вектора. Для модуляскорости

v .

Из уравнения (1) имеемv_x= 4tм/c,v_y= 3 м/c,v_z= 0 м/c. Получаем

v(t)= = ,м/с (2)

3. Таккак ускорением^�является первая производная скорости^�

a _� v

v

по времени, то для получения зависимостиaотtнеобходимо про- дифференцировать по времени полученную выше зависимость^�

(t) — выражение (1). Тогда

�

� dv

^{� �� � �}

2

a_dt=4ti3j_t=4i0j=4i,м/с. (3)

4. Модульускоренияопределяется соотношениемa .

Как видно из зависимости (3),a_x= 4 м/c²,a_y= 0 м/c²,a_z= 0 м/c². По- этому

a =4м/с². (4)

5. Значения скорости и ускорения в момент времениt= 1 с от на- чала движения легко получить, подставив значение времениt= 1 св

выражения (2) и (4).Тогдаv(1) = 5м/c,a(1) =4м/c². _{� �}

v

Ответ:зависимостьскороститочкиотвремени^�(t)=4ti3j,м/c;

зависимостьмодуляскоростиотвремениv(t)=_�

, м/с; за-

a t

висимость ускорения точки от времени^�()=4i,м/с²;зависимость^{модуля ускорения от времениa}^{t= 4м/с2;значения скорости иус-}корения в момент времениt= 1 с от начала движения:v(1) = 5м/c,a(1) = 4м/c².