31. Оценка адекватности и точности модели тенденции.

После нахождения параметров модели осуществляется проверка ее качествапо характеристикам адекватности (соответствия данным наблюдения) и точности.

Модель тенденции считается адекватной реальному процессу, если теоретические (найденные по уравнению тренда) уровни ряда достаточно близко подходят к фактическим их значениям, т.е. y_t и ŷ_t мало отличаются друг от друга

Проверка адекватности модели основывается на анализе ряда остатков

e_t=y_t-ŷ_t. (i=1,2,…,n)

Модель считается адекватной, если остатки:

-являются случайными;

-распределены по нормальному закону;

-имеют равное нулю среднее значение e=0;

-независимы между собой.

Для проверки ряда остатков на отсутствие автокорреляции уровней остатков используется критерий Дарбина-Уотсона. Этот критерий основан на расчете величины представляющей собой отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Между критерием Дарбина-Уотсона d и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка r_e1 имеет место следующее соотношение:

D=2(1- r_e1), где d – величина критерия Дарвина-Уотсона.

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и r_e1=1, то d=0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то r_e1=–1 и, следовательно, d=4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то r_e1=0 и d=2. Величина d изменяется в диапазоне 0≤d≤4.

Применение критерия Дарбина-Уотсона для выявления автокорреляции остатков осуществляется в следующей последовательности.

а) Выдвигается нулевая гипотеза Н₀ об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н₁ и Н₁* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках.

б) По таблицам критерия Дарбина-Уотсона определяются критические значения критерия d_L и d_U для заданного числа наблюдений n,числа факторов модели k и уровня значимости α. Этими значениям числовойпромежуток [0;4] разбивается на пять отрезков (0, d_L), (d_L, d_U), (d_U, 4-d_U), (4-d_U,4-d_L), (4-d_L, 4).

в) Выдвинутые гипотезы принимаются или отклоняются с вероятностью(1–α) в зависимости от того, в какой отрезок попадет значение критерия d:

(0, d_L) – принимается H₁, остатки имеют положительную корреляцию;

(d_L, d_U) – зона неопределенности;

(d_U, 4–d_U) – принимается H₀, автокорреляция остатков отсутствует;

(4–d_U, 4–d_L) – зона неопределенности;

(4–d_L, 4) – принимается H₁*, остатки имеют отрицательную корреляцию.

Критерий Дарвина-Уотсона рассчитывается по след. формуле:

К недостаткам критерия Дарбина-Уотсона относится наличие области неопределенности и то, что осуществляется проверка зависимости между ближайшими уровнями ряда.

Другим методом проверки наличия автокорреляции остатков является тест серий (Бреуша-Годфри), основанный на оценке значимости коэффициентов авторегрессионного уравнения

ε_t=ρ₁*e_t-1+ ρ₂*e_t-2+…+ ρ_k*e_t-k, ()

полученных методом наименьших квадратов. Наличие значимых коэффициентов свидетельствует об имеющейся автокорреляции остатков и ее характере.

Оценка точности модели тенденции заключается в оценке близости модельных значений тенденции к фактическим уровням ряда и осуществляется с помощью вычисления таких показателей, как:

- дисперсия остатков;

- средняя ошибка аппроксимации;

- коэффициент детерминации.