18. Выбор формы уравнения множественной регрессии.

Различают следующие виды уравнений множественной регрессии:

-линейные,

- нелинейные, сводящиеся к линейным,

- нелинейные, не сводящиеся к линейным (внутренне нелинейные).

В первых двух случаях для оценки параметров модели применяют линейный регрессионный анализ.

Вслучае внутренне нелинейных уравнений для оценки параметров применяют методы нелинейной оптимизации.

Основное требование, предъявляемое к уравнениям регрессии, заключается в наличии наглядной экономической интерпретации модели и ее параметров.

Наиболее часто используются линейная истепенная зависимости.

Линейная множественная регрессия имеет вид

ŷ=a+b₁x₁+b₂x₂+...+b_px_p.(3.3)

Параметры b_iпри факторах х_iназываются коэффициентами «чистой» регрессии.

Они показывают, на сколько единиц в среднем изменится результативный признак y за счет изменения соответствующего фактора на единицу при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Например, зависимость спроса на товар (Q) от цены (P)и дохода (I) характеризуется следующим уравнением:

Q=2,5-0,12P+0,23I.

Коэффициенты данного уравнения говорят о том, что при увеличении цены наединицу, спрос уменьшится в среднем на 0,12 единиц измерения спроса, а приувеличении дохода на единицу, спрос возрастет в среднем 0,23 единицы.

Параметрав уравнении не всегда может быть содержательно проинтерпретирован.

Степенная множественная регрессия имеет вид

ŷ=а* .

Параметры b_j(степени факторов х_i) являются коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов в среднем изменится результативный признак y за счет изменения соответствующего фактора х_iна 1 % при неизмененном значении остальных факторов.

Наиболее широкое применение этот вид уравнения регрессии получил впроизводственных функциях, а также при исследовании спроса и потребления.

Например, зависимость выпуска продукции Y от затрат капитала K и труда L имеет вид:

Y=0,89K^0,23L^0,81.

Приувеличение затрат капитала K на 1 % при неизменных затратах труда вызывает увеличение выпуска продукции Y на 0,23 %. Увеличение затрат труда L на 1 % при неизменных затратах капитала K вызывает увеличениевыпуска продукции Y на 0,81 %.

Экономический смысл имеет также сумма коэффициентов b_iкаждого фактора (сумма эластичностей) b = ∑b_i.

Эта величина дает обобщенную характеристику эластичности производства.

Если значение b>1, то функция имеет возрастающий эффектот масштаба производства. Значение b=1 - постоянный масштабпроизводства. Если значение b<1, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства.

Если один и тот же фактор вводится в регрессию в разных степенях, то каждая степень рассматривается как самостоятельный фактор.

19. Оценка параметров уравнения линейной множественной регрессии.

Уравнение линейной множественной регрессии имеет вид:

у=а+b₁x₁+b₂x₂+…+b_px_p+ɛ. (3.4)

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяется метод наименьших квадратов (МНК), согласно которому следует выбирать такие значения параметров а и b_i, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y_iот теоретических значений ŷ=f(x_1i,x_2i,...,x_pi) (при тех же значениях фактора x_ij) минимальна, т. е.

S= =min.

Система нормальных уравнений метода наименьших квадратов имеет вид:

(3.5)

Параметр а определяется по следующей формуле:

а=ӯ-b₁ - -…- .(3.6)

Коэффициенты множественной регрессии b_ірассчитываются как:

b_і=β_і ,(3.7)

где β_і–стандартизированные коэффициенты.

Стандартизованные коэффициенты регрессии β_iпоказывают, на сколькосредних квадратических отклонений изменится в среднем результативный признак y за счет изменения соответствующего фактора на одну сигму принеизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Стандартизованные коэффициенты регрессии βiсравнимы между собой.Это позволяет ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

Большее относительное влияние на изменение результативной переменной yоказывает тот фактор, которому соответствует большее по модулю значениекоэффициента β_i.

В случае парной линейной регрессии стандартизованный коэффициент регрессии β совпадает с линейным коэффициентом корреляции r_yx.

Возможен и иной подход к определению параметров множественной регрессии, когда на основе матрицы парных коэффициентов корреляции строиться уравнение регрессии в стандартизированном масштабе:

Для оценки параметров нелинейных уравнений множественной регрессиипредварительно осуществляется преобразование последних в линейную формус помощью замены переменных и МНК применяется для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии в преобразованных переменных.

В случае внутренне нелинейных зависимостей, которые невозможно привести к линейному виду для оценки параметров по методу наименьших квадратов применяют методы нелинейной оптимизации.