Задание 3 (б) Расчет балок на двух опорах

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Подобрать сечение деревянной балки (рисунок 25) прямоугольного сечения со сторонами h и b при =14 МПа и h/b==1,9.

Исходные данные: F=30кН; q=17кН/м; М₀=38 кНм; а=1,6м; в=1,2м; с=2,0м.

Р исунок 25 – Расчетная схема

Чтобы построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, определим все неизвестные внешние силы. Это – реакции опор. Направления их указываем произвольно (рисунок 25), а модули реакций и действительное направление найдем из условия равновесия данной плоской системы сил:

; тогда

кН.

, отсюда

кН.

Значения реакций получились положительные, значит их направление на рисунке 25 указано верно, а если – отрицательные, то направление изменяем на противоположное.

Проверка: .

Реакции в опорах определены верно.

Построение эпюры поперечных сил Q_x .

Пользуясь определением и правилом знаков, найдем поперечные силы в сечениях.

1

1

Сечение 1-1. Рассмотрим левую часть балки от сечения (рисунок 26).

На данном участке .

Поперечная сила в сечении равна:

кН

Поперечная сила постоянна на всем участке.

С ечение 2-2. Рассмотрим правую часть балки от сечения (рисунок 27).

Для данного участка .

Поперечная сила определится выражением:

– уравнение прямой линии.

Для построения прямой линии определим поперечные силы на границах участка:

при х₂=0, Q_x2=-75,8 кН,

при х₂=с, Q_x2=-75,8+172=-41,8 кН.

Сечение 3-3. Рассмотрим правую часть балки от сечения (рисунок 28).Для данного участка .

Уравнение поперечной силы будет иметь вид: – уравнение прямой линии.

Для построения эпюры найдем значения Q_x3

при х₃=с, Q_x3=-11,8 кН; при х₃=(с+b), Q_x3=8,6 кН.

По полученным значениям строим эпюру поперечных сил (рисунок 29).

Построение эпюры изгибающих моментов М_х.

Используя определение и правило знаков, найдем изгибающие моменты в сечениях.

Сечение 1-1. Рассмотрим левую часть балки от сечения (рисунок 26). Для данного участка .

Уравнение изгибающих моментов на данном участке описывается уравнением: – прямая линия.

Для её построения определим изгибающие моменты на границах участка: при х₁=0, М_х1=-38 кНм; при х₁=а, М_х1=119,8 кНм.

Сечение 2-2. Рассмотрим правую часть балки от сечения (рисунок 27). Для этого участка .

Изгибающий момент на участке описывается уравнением:

.

Д анное уравнение является уравнением параболы. Для её построения определяем изгибающие моменты на границах участка:

при х₂=0, М_х2=0; при х₂=с, М_х2=117,6 кНм.

Определим координату вершины параболы. Так как , а на данном участке Q≠0, то вершина параболы находится за пределами рассматриваемого участка, поэтому параболу проведем выпуклостью навстречу направлению распределенной нагрузки.

Сечение 3-3. Рассмотрим правую часть балки от сечения (рисунок 28). Для данного участка .

Уравнение изгибающих моментов имеет вид:

.

Полученное уравнение является уравнением параболы. Для её построения найдем значения изгибающих моментов на границах участка:

при х₃=с, М_х3=117,6 кНм;

при х₃=(с+в), М_х3=119,8 кНм.

Экстремум параболы найдем, используя дифференциальные зависимости. Производная от изгибающего момента на данном участке . Отсюда – вершина параболы находится на рассматриваемом участке.

Т огда

Строим эпюру изгибающих моментов (рисунок 29)

Подберем сечение балки из условия прочности по нормальным напряжениям:

,

где – для прямоугольного сечения с соотношением сторон =h/b.

Получаем мм.

Принимаем b=250 мм.

мм.

Проверка: МПа < []=14 МПа – условие прочности выполняется.