Расчет балок на изгиб

5 (А) Расчет консольных балок

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и подобрать сечение балки, состоящей из двух швеллеров (рисунок 18). При расчетах принять   =140 МПа.

И

1

2

3

сходные данные: F=30 кН;

q=17 кН/м; а=1,6м; в=1,2м; с=2,0м.

Р

2

3

1

ЕШЕНИЕ

Чтобы подобрать сечение балки, определим внутренние силовые факторы и построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Для этого воспользуемся методом сечений. Рассматривать сечения будем от свободного конца балки, так как реакции в опоре нам неизвестны.

Составим уравнения, по которым будут изменяться поперечные силы Q_x на участках балки.

Сечение 1-1. На первом участке проводим сечение 1-1 и рассмотрим левую часть балки от сечения (рисунок 21).

З

1

десь переменная х₁ принимает значения

1

Пользуясь определением поперечной силы и правилом знаков, запишем уравнение:

Q_х1=qх₁ – уравнение прямой линии.

Для построения прямой линии достаточно двух точек. Определим значения Q_x1 в начале и в конце участка:

при х₁=0, Q_x1=0,

при х₁=а, Q_x1=qa=171,6=27,2 кН.

Сечение 2-2. Рассмотрим сечение 2-2 (рисунок 22).

При этом .

Уравнение поперечной силы в данном сечении будет иметь вид: Q_x2=qa=27,2 кН - постоянная.

С

3

3

ечение 3-3.

Рассмотрим сечение 3-3 (рисунок 23).

Для данного сечения , тогда поперечная сила в сечении определится выражением:

Q_x3=qa-F=27,2 – 30 = -2,8 кН.

В выбранном масштабе строим эпюру поперечных сил Q_x (рисунок 24).

Определим зависимости, по которым изменяются изгибающие моменты.

Сечение 1-1. Рассмотрим левую часть балки от сечения (рисунок 21). Учитывая, что , уравнение изгибающих моментов на данном участке примет вид:

– это уравнение параболы.

Определим значение момента в начале и конце участка и координату х₁, при которой М_х принимает экстремальное значение:

при х₁=0, М_х1=0;

а при х₁=а, М_х1=qа²/2=171,6²/2=21,76 кНм.

Для нахождения вершины параболы воспользуемся правилом математики: функция имеет экстремум при том значении аргумента, где первая производная функции равна нулю.

Следовательно, найдем значение х₁, при котором данное условие выполняется , тогда, – вершина параболы, выпуклостью направленная на встречу действия распределенной нагрузки.

Сечение 2-2. Для части балки, расположенной слева от сечения (рисунок 22) ,

изгибающий момент по длине участка описывается уравнением:

– уравнение прямой линии.

Для построения прямой линии определим значения изгибающего момента на границах участка:

при х₂=а, М_х2=21,76 кНм;

при х₂= а+b, М_х2=54,4 кНм.

Сечение 3-3. Для части балки, расположенной слева от сечения (рисунок 23) ,

изгибающий момент описывается уравнением:

– уравнение прямой линии.

Для построения прямой линии определим значения изгибающего момента на границах участка:

при х₃=а+в, М_х3=54,4 кНм;

при х₃=а+в+с, М_х3=48,8 кНм.

В выбранном масштабе строим эпюру изгибающих моментов М_х (рисунок 24).

Рисунок 24 – Расчетная схема и эпюры поперечных сил

и изгибающих моментов

Из эпюры видно, что наиболее опасное сечение там, где приложена сила F.

кНм.

Подберем сечение балки из условия прочности по нормальным напряжениям:

,

где W_н.о. – осевой момент сопротивления сечения балки относительно нейтральной оси.

Так как по условию задачи сечение балки составное (два швеллера), то W_н.о.=2W_х.

Тогда .

Отсюда мм³.

Принимаем по ГОСТ 8240-72 швеллер №22а, для которого

W_x= 21210³ мм³.

Для проверки определим действующее нормальное напряжение:

МПа – условие прочности выполняется. Недогрузка составляет

.

Это меньше 15%, что допустимо.