Определение напряжений и построение эпюры

Напряжение имеет размерность силы, приходящейся на единицу площади. В поперечных сечениях бруса при центральном растяжении или сжатии возникают нормальные (перпендикулярные к сечению) напряжения σ.

Вычислим нормальные напряжения в сечениях 1-1; 2-2; 3-3 бруса:

С

МПа.

ечение 1-1

С

МПа.

ечение 2-2

С

МПа.

ечение 3-3

В выбранном масштабе строим эпюру напряжений σ(МПа) аналогично эпюре продольных сил (рисунок 14).

Построение эпюры перемещений

Под действием продольных сил участки бруса удлиняются или укорачиваются, что вызывает перемещение поперечных сечений.

При определении деформаций считают, что они являются упругими, продольная сила N и жесткость (Е·А) бруса постоянны в пределах каждого участка. Тогда деформации участков бруса определятся по закону Гука:

где l – длина участка бруса жесткостью EA и нагруженного продольной силой N.

Если напряжения, возникающие в каждом из рассматриваемых сечений известны, то для определения деформаций удобнее пользоваться зависимостью

где Е – модуль продольной упругости, для стали принять Е=2·10⁵ МПа.

Определим деформации каждого участка бруса.

Участок 1 l₁=a

мм.

Знак (-) указывает на то, что данный участок бруса укорачивается.

Участок 2 l₂=b

мм, деформация – укорочение.

Участок 3 l₃=c

мм, деформация – удлинение.

В выбранном масштабе строим эпюру перемещений (∆ℓ), начиная с неподвижного сечения – защемленного конца бруса (рисунок 14).

Особенностью ее построения является то, что для каждого участка ось эпюры (нулевая линия) различна. Это связано с тем, что перемещение сечений зависит от деформаций всех участков, находящихся выше.

Полное перемещение свободного конца бруса определится как сумма деформаций отдельных участков.

мм.

зАДАЧА №2

Расчет валов на кручение

На стальной вал постоянного поперечного сечения (рисунок 15), вращающегося с постоянной скоростью, насажено 4 шкива. Один из них получает мощность Р₁ от двигателя. Остальные три шкива передают мощность рабочим машинам. Требуется:

• построить эпюру крутящих моментов;

• из условия прочности подобрать диаметр сплошного вала;

• построить эпюру углов закручивания для сплошного вала.

Принять при расчетах G=8^.*10⁴ МПа; [τ]=40 МПа.

Исходные данные: Р₁=50 кВт; Р₂=10 кВт; n=200 мин^-1; а=2м; b=1м; с=3м.

Рисунок 15 – Расчетная схема

Определяем внешние моменты, приложенные к шкивам по формуле

.

Тогда кНм

и кНм.

Момент М₃ определим из условия равновесия ΣМ=0:

М₁-М₂-М₂-М₃=0 или М₃=М₁-2М₂=2,4-2 * 0,5=1,4 кНм.

По длине вала можно выделить 3 характерных участка (рисунок 15). Для определения крутящих моментов на каждом из них воспользуемся методом сечений и правилом, что крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих по одну сторону сечения.

При расчетах на прочность и жесткость знак крутящего момента решающего значения не имеет, но для удобства построения эпюр примем следующее правило знаков: крутящий момент Т в сечении считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса он представляется направленным по ходу движения часовой стрелки.

В соответствии с этим крутящие моменты на участках равны:

Сечение 1-1. Из условия равновесия рассматриваемой части бруса (рисунок 16) ,

тогда Т₁=-М₂.

Т₁=-М₂=-0,5 кНм.

Сечение 2-2.Из условия равновесия рассматриваемой части бруса (рисунок 17)

тогда Т₂=М₁-М₂=2,4-0,5=1,9 кНм.

Сечение 3-3. Из условия равновесия рассматриваемой части бруса (рисунок 18)

тогда Т₃=-2М₂+М₁=-2·0,5+2,4=1,4 кНм.

Выбрав масштаб, строим эпюру Т_кр (рисунок 19). Каждая ордината этой эпюры равна величине крутящего момента, действующего в том поперечном сечении вала, которому соответствует эта ордината.

В сечении, в котором к валу приложен внешний скручивающий момент, эпюра изменяется скачкообразно на величину этого момента.

Определим размеры вала из условия прочности:

,

где W_p – полярный момент сопротивления сечения при кручении;

W_p = 0,2 d³ – для сплошного вала круглого сечения.

Следовательно, диаметр вала

мм.

П ринимаем по ГОСТ 2590-71 d=65мм.

Рисунок 19 – Эпюры крутящих моментов и углов закручивания

Для построения эпюры углов закручивания находим деформации участков вала по формуле

,

где I_p – полярный момент инерции сечения, для круглого сечения, I_p=0,1d⁴.

Тогда рад,

рад,

рад.

Выбрав масштаб, строим эпюру углов закручивания (рисунок 19), приняв за условно неподвижное сечение левую опору. Построение эпюры углов закручивания выполняется аналогично построению эпюры перемещений (см. задачу №3).

ЗАДАЧА №3