МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УТВЕРЖДАЮД

Д

зам. директора ИК по учебной работе

____________ С. А. Гайворонский

“____”_______________2013 г.

БЕЗУСЛОВНАЯ МНОГОМЕРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

(ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ)

Методические указания по выполнению лабораторных

работ по курсу «Математическое программирование и оптимизация систем» для студентов направления 657900 – Автоматизация технологических процессов и производств (в нефтегазовой отрасли)

Томск 2013

УДК 681.5

Безусловная многомерная оптимизация (прямые методы). Методические указания по выполнению лабораторных работ по курсу «Математическое программирование и оптимизация систем» для студентов направления 657900 – Автоматизация технологических процессов и производств (в нефтегазовой отрасли) – Томск: Изд. ТПУ, 2013. – 14 с.

Составитель: Воронин А. В.

Рецензент: доцент кафедры ИКСУ ТПУ Громаков Е.И.

Методические указания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры интегрированных компьютерных систем управления “____” ______________ 2013 г.

Зав. Кафедрой иксу, к.Т.Н., доцент _________________ а. В. Лиепиньш

Цель работы: знакомство с оптимизационными задачами, изучение прямых методов многомерной оптимизации и сравнение эффективности их применения для конкретных целевых функций.

1. Краткие теоретические сведения.

1. О численных методах многомерной оптимизации.

Задача многомерной безусловной оптимизации формулируется в виде:

,

где – точка в -мерном пространстве ,

целевая функция аргументов.

Так же как и в первой лабораторной работе, мы рассматриваем задачу минимизации. Численные методы отыскания минимума, как правило, состоят в построении последовательности точек , удовлетворяющих условию . Методы построения таких последовательностей называются методами спуска. В этих методах точки последовательности вычисляются по формуле:

где – направление спуска, – длина шага в этом направлении.

Различные методы спуска отличаются друг от друга способами выбора направления спуска и длины шага вдоль этого направления.

Алгоритмы безусловной минимизации принято делить на классы, в зависимости от максимального порядка производных минимизируемой функции, вычисление которых предполагается. Так, методы, использующие только значения самой целевой функции, относят к методам нулевого порядка (иногда их называют также методами прямого поиска). Если, кроме того, требуется вычисление первых производных минимизируемой функции, то мы имеем дело с методами первого порядка; если же дополнительно используются вторые производные, то это методы второго порядка и т. д.

1.2. Методы прямого поиска.

1. Общая характеристика.

Методы прямого поиска – это методы, в которых используются только значения целевой функции (методы нулевого порядка). Рассмотрим следующие методы, основанные на эвристических соображениях. Эти методы довольно часто применяются на практике, позволяя в ряде случаев получить удовлетворительные решения.

Основное достоинство методов нулевого порядка состоит в том, что они не требуют непрерывности целевой функции и существования производных.

1.2.2. Метод конфигураций (метод Хука и Дживса).

Алгоритм включает в себя два основных этапа поиска:

• в начале, обследуется окрестность выбранной точки (базисной точки), в результате находится приемлемое направление спуска;

• затем, в этом направлении находится точка с наименьшим значением целевой функции. Таким образом, находится новая базисная точка.

Эта процедура продолжается пока в окрестностях базисных точек удается находить приемлемые направления спуска.

Схема алгоритма

Шаг 1.

Задаются начальное приближение (первая базисная точка) , начальный шаг для поиска направления спуска, точность решения (предельное значение для шага ). Присваивается . В результате, в начальный момент, .

Шаг 2. (Первый этап).

Определяется направление минимизации целевой функции в базисной точке . Для этого последовательно дают приращение переменным в точке .

Присвоим . Циклически даем приращение переменным и формируем , если ,

если же нет, то , если ,

иначе .

И так для всех .

Шаг 3.

Если , то есть не определилось подходящее направление, то обследование окрестности базисной точки повторяется, но с меньшим шагом (например, ).

Если , то перейти к шагу 2, то есть повторить обследование точки .

Если , то поиск заканчивается, то есть достигнуто предельное значение для шага и найти приемлемое направление спуска не удается. В этом случае полагается .

Шаг 4. (Второй этап).

Если , то требуется найти новую базисную точку в направлении вектора , где - коэффициент «ускорения поиска».

Определяется такое значение , при котором достигается наименьшее значение целевой функции в выбранном направлении, то есть функции

.

В зависимости от способа выбора возможны варианты метода:

а) постоянная для всех итераций;

б) задается начальное , а далее , если , иначе дробим , пока не выполнится это условие;

в) определяется решением задачи одномерной минимизации функции .

Таким образом, определяется новая базисная точка . Полагаем и поиск оптимального решения повторяется с шага 2.

В лабораторной работе принять постоянной для всех итераций. Значение выбрать самостоятельно.