23Разложение функций в степенной ряд

3.1. Постановка задачи. Ряд Тейлора

В теории функциональных рядов центральное место занимает раздел, посвященный разложению функции в ряд.

Таким образом, ставится задача: по заданной функции   требуется найти такой степенной ряд

,

который на некотором интервале сходился и его сумма была равна , т.е.

= ..

Эта задача называется задачей разложения функции в степенной ряд.

Необходимым условием разложимости функции в степенной ряд является её дифференцируемость бесконечное число раз – это следует из свойств сходящихся степенных рядов. Такое условие выполняется, как правило, для элементарных функций в их области определения.

Итак, предположим, что функция имеет производные любого порядка. Можно ли её разложить в степенной ряд, если можно, то как найти этот ряд? Проще решается вторая часть задачи, с неё и начнем.

Допустим, что функцию можно представить в виде суммы степенного ряда, сходящегося в интервале, содержащем точку х₀:

= .. (*)

где а₀,а₁,а₂,,...,а_п,... – неопределенные (пока) коэффициенты.

Положим в равенстве (*) значение х = х₀, тогда получим

.

Продифференцируем степенной ряд (*) почленно

=  ..

и полагая здесь х = х₀, получим

.

При следующем дифференцировании получим ряд

=  ..

полагая х = х₀, получим , откуда .

После п -кратного дифференцирования получим

Полагая в последнем равенстве х = х₀, получим , откуда

Итак, коэффициенты найдены

,  , , …, ,….,

подставляя которые в ряд (*), получим

Полученный ряд называется рядом Тейлора для функции .

Таким образом, мы установили, что если функцию можно разложить в степенной ряд по степеням (х - х₀), то это разложение единственно и полученный ряд обязательно является рядом Тейлора.

Заметим, что ряд Тейлора можно получить для любой функции, имеющей производные любого порядка в точке х = х₀. Но это еще не означает, что между функцией и полученным рядом можно поставить знак равенства, т.е. что сумма ряда равна исходной функции. Во-первых, такое равенство может иметь смысл только в области сходимости, а полученный для функции ряд Тейлора может и расходиться, во-вторых, если ряд Тейлора будет сходиться, то его сумма может не совпадать с исходной функцией.

24 Ортогональная система функций

Функция   называется нормальной, если

.

Яндекс.Директ

Проф­подго­товка учителя мате­матики bakalavr-magistr.ruЗаочно! Профподготовка для учителя мате­матики 2017! Диплом. Выбирайте!Более 50 курсовВопросы и ответыСтоимостьДиплом Объявление скрыто.

Поможем с дипломной работой piterdiplom.ruПомощь в напи­сании дипломной работы от препо­дава­теля ВУЗа.Узнай подробнее!ПсихологияПравоЭкономикаМенеджментАдрес и телефон Объявление скрыто.

Помощь с дипломнойи ВКРprofistudent.ruПомощь в напи­сании дипломных работ. Антиплагиат от 80%! Доработки 0 руб. Объявление скрыто.

Две функции   называются ортогональными (между собой), если  . Система кусочно-непрерывных на отрезке   функций

                                      (1)

(конечная или бесконечная) называется ортогональной, если функции имеют положительную норму и попарно ортогональны.

Система (1) называется ортогональной и нормальной (ортонормальной) или ортонормированной, если

т. е. она ортогональна и каждая входящая в нее функция имеет единичную норму.

Любая конечная ортогональная система функций   линейно независима в  , т. е. из того, что

,

где   - числа, следует, что все  . В самом деле, если помножить обе части этого равенства скалярно на  , то на основании линейных свойств скалярного произведения получим

,

и так как  , то  .

Если   - произвольная функция, то число

называется коэффициентом Фурье функции   относительно функции  , ортогональной системы (1). Ряд

,                                             (2)

порождаемый функцией  , называется рядом Фурье функции   по ортогональной системе (1).

Если система (1) ортонормальна, то   и ряд Фурье функции   записывается еще проще:

.                                          (3)

Коэффициентами Фурье в этом случае являются числа  . В дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормированные системы (1). Переход от них к произвольным ортогональным системам носит технический характер.

Теорема 1. Если система (1) ортонормирована, то для любой функции   норма

среди всевозможных систем чисел   достигает своего минимума для единственной системы чисел, определяемых равенствами

,

т. е. для коэффициентов Фурье функции  .

Таким образом,

,                          (4)

при этом

.                   (5)

Доказательство. Имеем

При этом очевидно, что последнее соотношение в этой цепи обращается в равенство только в единственном случае, когда   при любом  . Тем самым мы доказали соотношения (4) и (5).

Из равенства (5), если учесть, что его левая часть есть неотрицательное число, вытекает неравенство

,

верное при любом  . Но тогда, если система (1) состоит из бесконечного числа функций  , то ряд, составленный из квадратов коэффициентов Фурье функции   сходится и справедливо неравенство

,                                  (6)

называемое неравенством Бесселя.

Очень важен тот случай, когда ортонормированная система (1) такова, что неравенство (6) обращается в равенство (равенство Парсеваля-Стеклова)

                                   (7)

для всех функций  .

Чтобы выяснить значение равенства Парсеваля, зададим произвольную функцию   и составим для нее ее ряд Фурье

.

Сумма первых   членов этого ряда

называется  -й суммой Фурье функции   по ортогональной системе (1).

Согласно формуле (5) отклонение   от   в смысле среднего квадратического (в смысле  ) равно

.                                         (8)

Если для функции   выполняется равенство Парсеваля (7), то

,                                            (9)

и обратно, из (9) вытекает справедливость равенства Парсеваля (7).

Существует следующая терминология. Ортогональная система (1) называется полной в  , если ряд Фурьелюбой функции   сходится в смысле среднего квадратического к  , т. е. если имеет место свойство (9) для всех  .

Мы, таким образом, доказали, что для того чтобы ортонормированная система (1) была полной в  , необходимо и достаточно, чтобы для любой функции   выполнялось равенство Парсеваля (7).

Примечание. Мы уже отмечали в замечании 1 §4.8, что   обозначает пространство функций  , интегрируемых в лебеговом смысле на   вместе со своими квадратами и что  .

Рассмотрим ортонормированную на отрезке   систему непрерывных функций

,

полную в том, смысле, как это мы определили выше. Мы знаем, что если  , то для чисел

                                        (10)

выполняется равенство Парсеваля

.

Это верно и для функций  , только интегралы надо понимать в смысле Лебега.

Но имеет место и обратное утверждение: если числа   таковы, что ряд

сходится, то в   существует функция   такая, что числа    являются ее коэффициентами Фурье и выполняется соотношение (9).

А в   такой функции может и не быть. В этом проявляется несовершенство пространства  . В пространстве   недостаточно количество функций, для того чтобы это обратное утверждение имело место.

25. Тригонометрической системой функций называется система функций

 Это – периодические функции.

Докажем два свойства периодических функций.

1) Если функция имеет период  ,то функция   имеет период   .

Доказательство.   .

2) Если функция имеет период  , то   .

Доказательство.   =

(делаем замену переменных в последнем интеграле   )

   .

Доказанные свойства позволяют

1) рассматривать тригонометрическую систему функций на любом отрезке длиной  (период   равен   ,   ), например на отрезке   ,

2) при вычислениях интегралов от функций с периодом, кратным   , проводить интегрирование по любому отрезку длиной   .

 

Так как элементы тригонометрической системы функций представляют собой непрерывные функции, то они сами и их квадраты (как произведение непрерывных функций) интегрируемы на отрезке   . Поэтому можно рассматривать пространство L² на отрезке   и строить ряд Фурье.

Скалярное произведение функций введем так: 

Для того, чтобы построить ряд Фурье по тригонометрической системе функций надо доказать, что эти функции попарно ортогональны на   .

Теорема.Тригонометрическая система функцийсостоит из попарно ортогональных на отрезке   функций.

Доказательство.   .   ,

 ,

 

Пусть   .

Теорема доказана.

 

Вычислим скалярные квадраты элементов тригонометрической системы.

 , 

 .

Составим ряд Фурье по тригонометрической системе функций

 .

Коэффициенты Фурье вычисляются по формуле   .

 ,   ,

 .

 

Теперь необходимо сформулировать условия, при которых функция представляется рядом Фурье по тригонометрической системе функций.

 

28. Достаточные условия разложения в ряд Фурье( частные случаи рядов фурье)

 

Выведенные нами формулы дают необходимые условия разложения функции в ряд Фурье.

Определение. Функция y=f(x) называется кусочно-гладкой на интервале [a,b], если интервал [a,b] можно разбить на конечное число кусков, на каждом из которых функция y=f(x) непрерывна и дифференцируема, а в точках разрыва имеются разрывы первого рода. Таким образом функция имеет не более чем конечное число точек разрывов первого рода (скачков).

Теорема. Пусть функция y=f(x) периодична с периодом 2p и кусочно-непрерывна на интервале периодичности. Тогда функция y=f(x) разлагается в ряд Фурье, причем ряд Фурье сходится к функции в точках непрерывности, а в точках разрыва x=x₀ сходится к значению, которое равно (f(x₀-0)+f(x₀+0)) /2. (Без доказательства).

 

Если функция y=f(x) периодическая с периодом T, т. е. если для всех x выполняется условие

 

,

 

то для вычисления коэффициентов ряда Фурье можно взять любой отрезок [a,b] с длиной, равной величине периода. Докажем это.

 

 

Введем для третьего интеграла замену:

 

 

Тогда

 

29.

30