4) Приведение двойного интеграла к повторному.

5) Замена переменной в двойном интеграле

6) Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Пусть область D записывается системой неравенств в полярных координатах Область D  называется правильной областью в полярной системе координат, если каждый луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более чем в двуx точках (за исключением тех участков границы, которые являются частью луча, идущего из полюса) (Рис. 5). По определению двойного интеграла имеем: . Так как значение двойного интеграла не зависит от способа разбиения области D на элементарные части, то сделаем это разбиение координатными линиями полярной системы координат: лучами, выходящими из полюса, и концентрическими окружностями с центрами в полюсе. Тогда элементарная площадь   вычисляется как разность площадей двух круговых секторов:

 

Фиксированная точка   на каждой элементарной части тоже выбирается произвольно, поэтому ее декартовы координаты с учетом известных формул связи декартовых и полярных координат можно положить равными  ,   (здесь значение угла   можно произвольно зафиксировать на промежутке  длиной  ). Тогда определение двойного интеграла запишется в следующем виде:

7. Основные понятия ряда.

Пусть мы имеем числовую последовательность  , где  .

Приведем пример числовой последовательности:  .

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида  .

В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = -0.5:  .

 называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда.

Для предыдущего примера общий член числового ряда имеет вид  .

Частичная сумма числового ряда – это сумма вида  , где n – некоторое натуральное число.   называют также n-ой частичной суммой числового ряда.

К примеру, четвертая частичная сумма ряда   есть  .

Частичные суммы   образуют бесконечную последовательность частичных сумм числового ряда.

Для нашего ряда n –ая частичная сумма находится по формуле суммы первых nчленов геометрической прогрессии  , то есть, будем иметь следующую последовательность частичных сумм:  .

Числовой ряд   называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм  . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд  называется расходящимся.