39. Общее уравнение плоскости. Частные случаи.

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными x, y и z:

. (12.4)

Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например , перепишем уравнение (12.4) в виде

(12.5)

Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что уравнения (12.4) и (12.5) являются уравнениями плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку .

Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат некоторую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1. Если , то оно принимает вид . Этому уравнению удовлетворяет точка . Следовательно, в этом случае плоскость проходит через начало координат.

2. Если , то имеем уравнение . Нормальный вектор перпендикулярен оси . Следовательно, плоскость параллельна оси ; если В = 0 – параллельна оси Оу, А = 0 – параллельна оси Ох.

3. Если С = D = 0, то плоскость проходит через параллельно оси Oz. Аналогично, уравнениям и отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Охи Оу.

4. Если А = В = 0, то уравнение (12.4) принимает вид , т.е. . Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично уравнениям и отвечают плоскости, соответственно параллельные плскостям Оyz и Oxz.

5. Если , то уравнение (12.4) примет вид , т.е. . Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: – уравнение плоскости Oxz; – уравнение плоскости Оyz.

40. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей через три данные точки , и , не лежащие на одной прямой.

Возьмем на плоскости произвольную точку и составим векторы , , . Эти векторы лежат на плоскости Q ,следовательно, они компланарны. Используем условие компланарности векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем , т.е.

(12.6)

Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

41. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

, (1)

где  ,  ,   - направляющие косинусы нормали плоскоти, p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

Пусть   - какая угодно точка пространства, d - расстояние от нее до данной плоскости. Отклонением   точки   от данной плоскости называется число +d, если точка   и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и число -d, если они лежат по одну сторону от данной плоскости (если   лежит на самой плоскости, то отклонение равно нулю).

Если точка   имеет координаты  ,  ,  , а плоскость задана нормальным уравнением

,

то отклонение точки  от этой плоскости дается формулой

.

Очевидно,  .

Общее уравнение плоскости

приводится к нормальному виду (1) умножением на нормирущий множитель, определяемый формулой

;

знак нормирующего множителя берется противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.