34.Эллипс ( вершины, оси, полуоси, фокусы…).Уравнение эллипса.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через и , расстояние между ними через , а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов – через (см. рис. 49). По определению , т.е. .

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы и лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка . Тогда фокусы будут иметь следующие координаты и .

Пусть – произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса , т.е.

. (11.5)

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим образом:

,

,

,

,

.

Т

.

ак как , то . Положим

(11.6)

Т

.

огда последнее уравнение примет вид или

(11.7)

Можно доказать, что уравнение (11.7) равносильно исходному уравнению. Оно называется каноническим уравнением эллипса.

Эллипс – кривая второго порядка.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, поэтому если точка принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки , , . Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки , которую называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив , находим две точки и , в которых ось Ох пересекает эллипс (см. рис. 50). Положив

в уравнении (11.7) , находим точки пересечения эллипса с осью Оу: и . Точки называются вершинами эллипса. Отрезки и , а также их длины и называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

3. Из уравнения (11.7) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит

единицы, т.е. имеют место неравенства , или и . Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми , .

4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых и равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т.е. если возрастает, то уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 50 (овальная замкнутая кривая).

Дополнительные сведения об эллипсе

Форма эллипса зависит от отношения . При эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса приобретает вид . В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением .

Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой («эпсилон»):

,

(11.8)

причем , так как . С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

,

т.е.

и .

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным; если положить , то эллипс превращается в окружность.

Пусть – произвольная точка эллипса с фокусами и (см. рис. 51). Длины отрезков и называются фокальными радиусами точки М. Очевидно,

формулы Имеют месть следующие

и .

Прямые называются ди-

ректрисами эллипса. Значение

директрисы эллипса выявляется следующим утверждением.

Теорема 11.1. Если r – расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от этой точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: .

Из равенства (11.6) следует, что . Если же , то уравнение (11.7) определяет эллипс, большая ось которого лежит на оси Оу, а малая ось – на оси Ох (см. рис. 52). Фокусы такого эллипса находятся в точках и , где .