32. Взаимное расположение прямых. Нахождение общих точек.

Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны.

1. Пересекающиеся прямые

Пересекающимися прямыми называются такие прямые, которые имеют одну общую точку.

Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения проекций прямых а и b есть точка пересечения этих прямых (рис. 3.4).

.

Рис. 3.4. Пересекающиеся прямые

2. Параллельные прямые

На рис. 3.5 изображены параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке (прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке).

Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.

3. Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые – это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые не имеющие ни одной общей точки.

На комплексном чертеже (рис. 3.6) точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси Х (в отличие от пересекающихся прямых, см. рис. 3.4).

.

Рис. 3.5. Изображение параллельных прямых Рис. 3.6. Скрещивающиеся прямые

 .

33. Окружность. Уравнение окружности.

Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса R с центром в точке называется множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию . Пусть точка М в прямоугольной системе координат Оху имеет координаты , а – произвольная точка окружности (см. рис. 48).

Тогда из уравнения получим уравнение

т

о есть

(11.2)

Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащих на окружности.

Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности.

В частности, полагая и , получим уравнение окружности с центром в начале координат

Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:

1. коэффициенты при и равны между собой;

2. отсутствует член, содержащий произведение текущих координат

Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значения и получим

(11.3)

Преобразуем это уравнение:

т.е.

т.е.

(11.4)

Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии, Ее центр находится в точке , а радиус . Если же , то уравнение (11.3) имеет вид . Ему удовлетворяют координаты единственной точки . В этом случае говорят: «окружность выродилась в точку» (имеет нулевой радиус).

Если , то уравнение (11.4) а, следовательно, и равносильное уравнение (11.3) не определяет никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая часть – не отрицательна (говорят: «окружность мнимая»).