Метод Гаусса
Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к так называемому "треугольному виду". К элементарным преобразованиям относятся:
умножение строки на любое число;
прибавление к одной строке другой строки или суммы нескольких строк;
умножение строки на любое число и прибавление к другой строке, также умноженной на любое число.
После приведения
системы к "треугольному виду"
появляется возможность найти значение
переменной
из последнего уравнения, затем оно
подставляется во второе уравнение и
находится значение
.
Полученные значения
и
подставляются в первое уравнение,
откуда находится
.
Вычисления лучше производить с коэффициентами системы, записанными в форме таблицы, которая называется расширенной матрицей системы:
В результате преобразований должна получиться матрица вида:
Возвращаясь к интерпретации каждой строки матрицы как коэффициентов уравнения, можно записать:
,
откуда
;
,
откуда
;
,
откуда
.
Таким образом, получили решение системы: .
Метод Крамера
Этот метод позволяет находить единственное решение системы с помощью определителей.
Определителем
второго порядка
называется число, вычисляемое по
формуле:
Определителем третьего порядка называется число, вычисляемое по формуле:
.
Пример решения типового варианта
Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса:
Решение: Составим
матрицу системы:
Умножим первую
строку на (-3) и прибавим ко второй строке,
записывая сумму на месте второй строки:
Умножим первую
строку на (-9) и прибавим к третьей строке,
записывая сумму на месте третьей строки:
↔
Умножим вторую
строку на (-4), а третью строку на 7 и
сложим их, записывая сумму на месте
третьей строки:
Из третьей строки имеем:
11 =22, откуда =2.
Из второй строки имеем:
7
-15
=-16,
откуда
),
подставим
=2:
.
Из первой строки находим :
,
откуда
,
подставляем
=2,
=2:
=3+4-6=1.
Ответ:
.
Пример 2. Пусть требуется решить систему уравнений:
Решение: 1. Вычисляем
определитель системы:
,
если Δ ≠ 0, тогда система имеет единственное
решение, в противном случае решений
либо бесконечно много, либо не существует.
Вычисляем вспомогательные определители:
,
Находим
:
.
Вопросы для самоконтроля
Что называют системой линейных уравнений?
Что значит решить систему уравнений?
Что называют определителем системы уравнений?
В чем состоит метод Гаусса?
Каким образом при помощи определителей можно решить систему уравнений?
Что можно сказать, если определитель системы равен нулю?
2. Задания для выполнения контрольной работы
2.1. Требования по оформлению контрольной работы
Контрольная работа должна выполняться в отдельной тетради на клетчатой бумаге. Работа, выполненная небрежно, будет возвращена студенту без проверки.
Титульный лист контрольной работы оформляется при помощи специального бланка (наклейки), в котором указываются наименование дисциплины, номер группы, номер варианта, фамилия и инициалы студента, фамилия и инициалы преподавателя, оценка и дата.
Наклейка на обложку тетради по следующему стандарту:
Контрольная работа по ЕН______________________________________ (наименование дисциплины) Группа __________ Номер варианта _____________ ФИО студента ______________________________ Оценка «__» _________________ Дата _____________ (цифрой и прописью) К.р. проверил(а) преподаватель: _________________ ___________________________ ____________ (Ф.И.О. преподавателя) (подпись)
|
В тетради оставляют поля шириной 4-5 см, для замечаний преподавателя.
Условия всех задач переписываются полностью. Если требуется чертеж, то его выполняют карандашом, с помощью чертежных инструментов. При построении чертежа соблюдается масштаб.
Решение задачи или примера должно сопровождаться необходимыми вычислениями, формулами и пояснениями.