Основные свойства определителей:

1. Определитель не изменится, если его разложить по любому столбцу (строке).

2. Значение определителя не изменится после замены всех его строк соответствующими столбцами и наоборот: detA=detA^T.

3. Если поменять местами две каких-нибудь строки (столбца), то определитель изменит свой знак.

4. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя. Следовательно, если элементы какой-либо строки (столбца) умножить на число l, то определитель умножится на это число l.

6. Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель тоже равен нулю.

7. Определитель у которого элементы двух строк (столбцов) соответственно пропорциональны равен нулю.

8. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя представляет собой сумму 2-х слагаемых, то такой определитель равен сумме 2-х определителей. В первом из которых соответствующая строка (столбец) состоит из 1-х слагаемых, а во втором – из вторых.

9. Определитель не изменится, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже произвольное число l.

Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю, в противном случае она называется вырожденной.

Утверждение. Каждая невырожденная квадратная матрица имеет обратную, и притом только одну.

Матрица A^* называется присоединенной, её элементы являются алгебраические дополнения A_ij транспонированной матрицы A^T.

Пример решения типового варианта

Пример 1. Найти произведение матриц и

Решение: C=A*B=

Компоненты матрицы С вычисляются следующим образом:

c₁₁=a₁₁·b₁₁+a₁₂·b₂₁+a₁₃·b₃₁=1 · 2+2 · (-1)+5 · 2=2-2+10=10

c₁₂=a₁₁·b₁₂+a₁₂·b₂₂+a₁₃·b₃₂=1 · 4+2 · 3+5 · 0=4+6+0=10

c₂₁=a₂₁·b₁₁+a₂₂·b₂₁+a₂₃·b₃₁=(-1) · 2+3 · (-1)+0 · 2=(-2)-3+0=-5

c₂₂=a₂₁·b₁₂+a₂₂·b₂₂+a₂₃·b₃₂=(-1) · 4+3 · 3+0 · 0=(-4)+9+0=5

Получаем

Ответ:

Пример 2. Дана матрица . Найти ее определитель..

Решение: Вычислим определитель det A.

det A=2(-5)1+(-4)31+1(-1)1-1(-5)1-2(-1)3-1(-4)1=-10-12-1+5+6+4=-13+5=-8.

Ответ: detA=-8

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое называют mn матрицей?

2. Как определяется произведение матрицы на число? Сумма матриц? Всякие ли две матрицы можно сложить?

3. Как определяется произведение двух матриц?

4. Обладает ли операция умножения матриц коммутативностью?

5. Что такое единичная матрица?

6. Что называют определителем квадратной матрицы?

7. Что такое обратная матрица?

8. Что такое ранг матрицы?

Раздел 4. Методы решения систем линейных уравнений

Тема 4.1. Методы решения систем линейных уравнений

Методы нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений (метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод).

Решение систем линейных уравнений

Системой линейных уравнений с тремя неизвестными называется система вида:

Решить систему – значит найти такие значения , при подстановке которых в систему уравнения становятся верными тождествами. Для решения таких систем существует много способов. Рассмотрим два основных: метод Гаусса, метод Крамера.