Пример решения типового варианта

Пример 1. Вычислите +

Решение: +

Ответ: +

Пример 2. Даны комплексные числа , a) , б) в) , г)

Решение: а)

б)

в)

г)

Ответ: а)

б)

в)

г)

Пример 3. Комплексное число представить в тригонометрической и в показательной форме.

Решение: Для заданного числа действительная часть a=0, а мнимая часть b=-1. Тогда модуль этого числа , а аргумент . Отсюда получаем, что -тригонометрическая форма комплексного числа

- показательная форма комплексного числа.

Ответ: -тригонометрическая форма комплексного числа

- показательная форма комплексного числа.

Вопросы для самоконтроля

1. Комплексные числа. Определение. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

2. Геометрическая интерпретация, модуль, аргумент.

3. Операции над комплексными числами: сложение, умножение, возведение в степень, извлечение корня.

Раздел 3. Элементы матричной алгебры

Тема 3.1. Элементы матричной алгебры

При изучении данной темы необходимо усвоить понятие матрица основные понятия и определения, основные виды матриц. Операции над матрицами. Определители и их свойства. Элементы матричной алгебры Матрица. Действия с матрицами

Матрицей размеров mn будем называть совокупность mn чисел расположенных в виде таблицы состоящей из m строк и n столбцов и записывать в виде:

Элементы матрицы – это числа a_ij ( ) составляющие её, где i – номер строки, j – номер столбца на пересечении которых находится элемент матрицы.

Основные операции над матрицами

1. Сложение и вычитание матриц

Определяется для матриц одинакового размера. Суммой (разностью) матриц A и B, обозначаемой A+B (A-B), называется матрица C, элементы которой определяются по формуле: c_ij=a_ij+b_ij, где a_ij и b_ij – соответственно элементы матриц A и B.

2. Умножение матрицы на число

Произведением матрицы A и числа , обозначаемым A, называется матрица B той же размерности, элементы которой b_ij=la_ij, где a_ij элементы матрицы A, т.е. при умножении матрицы на число надо все элементы матрицы умножить на это число.

Свойства

Пусть A, B, C – матрицы одного размера, a,  любые действительные числа, тогда:

1. A+B=B+A

2. (A+B)+C=A+(B+C)

3. a(A+B)=aA+aB

4. (a+)A=aA+dA

5. (ad)A=a(dA)

Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой. Пусть O – нулевая матрица, тогда:

6. A+O=A

7. (-1)A – противоположная к A и обозначается – A.

8. A+(-A)=O.

3. Умножение матриц

Произведением матриц A_{m n} и B_{n p} называется матрица C_{m p}= AB (или проще AB), элементы которой , где - элементы матриц A и B. Произведение AB существует только в том случае, когда первый множитель A имеет число столбцов, равное числу строк второго множителя B.

Свойства умножения

1. AB BA даже если оба произведения определены, но существуют матрицы A,B, такие что AB= BA, тогда они называются перестановочными.

Матрица E вида: называется единичной матрицей. E – перестановочная с любой квадратной матрицей того же размера, т.е. AE=EA=A.

2. Умножение матриц ассоциативно, т.е. если определены произведения AB и (AB)C, то определены BC и A(BC) и выполняется равенство:

(AB)C=A(BC).

3. Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению, т.е.:

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC.

4. Для любого числа :

(AB)=(lA)B=A(lB).

Обратная матрица

Матрица X, удовлетворяющая вместе с заданной матрицей A равенствам XA=AX=E, называется обратной к A и обозначается A^-1.

Определители

Определители (детерминанты) рассматриваются только для квадратных матриц.

Определитель n-го порядка это число, записываемое в виде таблицы и может быть вычислено по элементам этой таблицы в соответствии с указанными ниже правилами.

Минором M_ij элемента a_ij называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическое дополнение A_ij элемента a_ij определяется равенством: .

Определитель _n (det) находится по правилу: , а миноры M_1k – являются определителем (n-1)-го порядка, полученным из _n вычеркиванием 1-й строки и k-го столбца. Эта формула называется разложением по строке. Можно раскладывать по столбцу: .

Определители первого, второго и третьего порядков

Определитель первого порядка .

Определитель второго порядка:

Определитель третьего порядка, вычисленный разложением по первой строке:

.

Правило вычисления определителя 3-го порядка равносильно правилу треугольников (правилу Саррюса):

.