4.4.1. Накопительная пос. Экспоненциальный рост.
Приведём пример накопительной обратной связи. Для работы такой ОС необходима ёмкость, в которой будет накапливаться (суммироваться) некоторая субстанция, которую можно назвать «заряд». Пример такой обратной связи – это рост денег на банковском счёте, в результате притока процентов.
Такое явление в банковской сфере называется «капитализацией вклада», а в математике имеет вид «сложного процента». В дальнейшем мы покажем взаимосвязь роста денег на вкладе с другими физическими явлениями.
Рост денег, как известно, определяется денежным зарядом QD - суммой денег на счету. Также можно учитывать некий параметр «ёмкость» - тот объём, куда будут положены деньги. Ёмкостью может быть также и параметр: количество вкладчиков, которым принадлежит вклад. Если вкладчиков много, ёмкость большая. Если вкладчик один, то емкость минимальная, а потенциал наибольший.
Также на величину ОС влияет ручеёк денег – это процентная ставка. Уравнение для процентной ставки – это своеобразный «закон Ома». Ток обозначим как ID.
Если ёмкость равна CD, то потенциал UD можно вычислить:
(4.21)
Уравнение для процентной ставки:
(4.22)
Или:
(4.23)
Где
(4.24)
Это процентная ставка.
Обратная связь для банковского счёта – это ПОС. Чем больше течёт время, тем больше денег становится на счёте.
Уравнение в дифференциальной форме имеет вид:
(4.25)
Решением этого уравнения будет выражение:
(4.26)
Учитывая что
Начальный заряд в момент времени τ0 равен QD0, получим:
(4.27)
Напишем алгоритм обратной связи:
1. Начальный заряд в момент времени τ0 равен QD0.
2. Время начинает нарастать от момента τ0 . Выберем на оси времени два момента τ1 и τ2 , так чтобы τ1 < τ2 , тогда QD2 = QD1 + ID ·(τ2 - τ1)
Привёдём блок-схему системы с накопительной положительной обратной связью для данного примера. Построим её на основе заряда, то есть так, чтобы сигнал на выходе был мгновенным значением заряда. На рисунке 4.5. сигналы приведены без индекса D.
Рис. 4.5. Блок-схема системы с накопительной положительной обратной связью, построенная на основе заряда.
Если заряд выразить через уравнение для ёмкости, то получим уравнение обратной связи через потенциал.
(4.28)
Тогда
(4.29)
Далее следует:
(4.30)
Тогда:
(4.31)
Потому, можно построить блок-схему с накопительной ПОС, выраженной через потенциал.
Рис. 4.6. Блок-схема системы с накопительной положительной обратной связью, построенная на основе потенциала.
4.4.2. Накопительная оос. Экспоненциальный спад.
Теперь вернёмся к 3-м аналогичным законам:
1. Закон о релаксации теплового заряда, или закон Ньютона-Рихмана
2. Закон о релаксации электрического заряда при разряде конденсатора через резистор.
3. Закон о релаксации магнитного заряда при убывании тока в катушке, замкнутой на резистор.
Все эти явления описываются дифференциальным уравнением:
(4.32)
Где
y – заряд системы;
y0 – заряд окружающей среды;
x – время;
k – обратная величина постоянной времени,
что соответствует накопительной отрицательной обратной связи.
На рисунке 4.7. приведём блок-схему системы с накопительной отрицательной обратной связью, построенной на основе заряда.
Рис. 4.7. Блок-схема системы с накопительной отрицательной обратной связью, построенная на основе заряда.
Уравнение в дифференциальной форме имеет вид:
(4.33)
Решением этого уравнения будет выражение:
(4.34)
Учитывая что, начальный заряд в момент времени τ0 равен Q0, получим:
(4.35)
На рисунке 4.8. приведём блок-схему системы с накопительной отрицательной обратной связью, построенной на основе потенциала.
Рис. 4.8. Блок-схема системы с накопительной положительной обратной связью, построенная на основе потенциала.
Накопительная отрицательная обратная связь описывается «правилом Ленца» и присутствует в магнитных, электрических и тепловых явлениях.
Ленц мог наблюдать НООС (накопительную отрицательную обратную связь) в магнитных явлениях по причине очень малых значений постоянной времени:
(4.36)
Но для электрических и тепловых явлений правила НООС такие же, как и для магнитных явлений.
НООС присутствует при нагревании холодного тела до температуры окружающей среды, а также и при остывании тела до температуры окружающей среды.
НООС присутствует как при заряде конденсатора через резистор, так и при разряде конденсатора через резистор.
НООС присутствует при снижении тока в катушке (без сердечника), замкнутой на резистор, а также и при нарастании тока в катушке, замкнутой на резистор.
Весь этот ряд явлений сопровождается НООС.
Если простая ООС – это стабилизатор, то НООС – это стабилизирующий накопитель.
Все основные уравнения физики – это уравнения НООС.
Так, например, уравнение для самоиндукции (магнитной релаксации) – это уравнение для НООС.
Уравнение для частоты колебаний электромагнитных волн – уравнение Томсона – можно вывести через уравнение НООС магнитной релаксации.
Сами же системы НООС внутри себя содержат: законы тока соответствующей субстанции, и принцип жёсткой синхронизации времени во всех точках Вселенной при накопительной отрицательной обратной связи. Более ничего. Это значит, что закона Ома достаточно, чтобы выразить НООС для электрического заряда.
Для движения тепла существует закон Фурье. Закон же Ньютона-Рихмана – это всего лишь НООС на основе закона Фурье.
Закон движения магнитного заряда имеет несколько парадоксальный вид. Этот случай мы рассмотрим далее.
Движения магнитного потока во времени не существует, так, как магнитное поле является псевдо-движением. Потому зарядом системы для магнитной системы с НООС является время.