Геометрическии и физический смысл определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция у = f(x) ≥ 0. —    Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = f(x), снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.

Д ля этого отрезок [а; b] точками а = х0, x1, …, b = хn (х0 < x1 <…. < хn)разобьем на п частичных отрезков     (см. рис.). В каждом частичном отрезке   (i = 1,2,…,п) возьмем произвольную точку сi, и вычислим значение функции в ней, т.е. f(сi). Умножим значением функции f(сi) на длину   соответствующего частичного отрезка. Произведение  равно площади прямоугольника с основанием   , и высотой f(сi). Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади Sкриволинейной трапеции: С уменьшением всех величин   , точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда пнеограниченно возрастает так. что  Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Ра6ота переменной силы Пусть материальная точка М перемещается под действием силы   , направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где хабсцисса движущейся точки М. Найдем работу А силы   по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (a < b). Для этого отрезок [а; b] точками а = xo, x1,…, b = xn (xo < x1 < ••• < xn) разобьем на n частичных отрезков  . Сила, действующая на отрезке   , меняется от точки к точке. Но если длина отрезка   достаточно мала, то сила   на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке   . Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке   , равна произведению   (Как работа постоянной силы F(ci) на участке   )

Приближенное значение работы А силы   на всем отрезке [a; b] есть

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина   . Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы (36.1) при условии, что наибольшая длина λ частичных отрезков стремится к нулю: Итак, работа переменной силы  , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующей на отрезке [a; b]. равна определенном,у интегралу от величины F{x) силы, взятому по отрезку [а; b].

В этом состоит физический смысл определенного интеграла.

Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = а до t = b, равен определенному интегралу от скорости v(t):

масса m неоднородного стержня на отрезке [а; b] равна определенному интегралу от плотности