48 Вопрос. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной системе координат.

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Предположим, что в двойном интеграле необходимо перейти к новым переменным по формулам

В функции на , иными словами имеются обратные функции

Если область в плоскости на криволинейные параллелограммы. Обозначим на плоскости бесконечно малый прямоугольник (рис. 23.7).

Рис.23.7

 

Поскольку параметрические уравнения кривой параллелограмм, который построен на векторах  В этом случае, рассматривая третью координату эквивалентной , прибегнем к формуле, которая определяет площадь параллелограмма через модуль векторного произведения:

 

 Запишем обозначение

 

 

Итак, элемент площади в соответствии с формулой

 

(23.9)

 

Запишем формулу замены переменной в двойном интеграле

 

 

здесь используется в качестве образа в системе . Определитель именуют якобианом преобразования координат. При ненулевом якобиане, преобразование имеет смысл или является невырожденным.

Следует отметить, что формула (23.9) может быть использована и в случае  - мерного пространства.

Разберем частный случай. Допустим, необходимо обозначить двойной интеграл в полярной системе координат, если полярная ось предполагает совместимость с осью , а полюс — с началом координат, иначе выражаясь

 

(23.10)

 

Здесь и обозначают элемент площади в полярных координатах. В таком случае

 

(23.11)

Предположим, что у области есть граница

(рис. 23.8). Аналогично, как было с прямоугольными координатами, вместо двойного интеграла используем повторный:

 

(23.12)

Рис. 23.8

  

Пример:

Используя формулу (23.10), обозначим уравнение границы в полярных координатах: . Применив (23.12), имеем:

 

 

При нахождении такого интеграла в декартовых координатах, решение будет более громоздким.

49 Вопрос. Тройной интеграл: его определение,

Cвойства , вычисление в декартовой системе координат.

 Определение тройного интеграла и его основные свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

Пусть задана область VXOYZ, ограниченная замкнутой поверхностью; в области V  и на ее границе задана функция f (x,y,z).   Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V  на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из этих элементарных частей): здесь n – это количество элементарных частей разбиения области V;  Pi (xi,yi,zi) – произвольно выбранная точка на каждой элементарной части,  i = 1,...,n;  — ранг разбиения;  – диаметр i-ой элементарной части.

Достаточное условие существования тройного интеграла

Если функция f (x,y,z) непрерывная в замкнутой области V, то   существует.

Механическая трактовка тройного интеграла

Если f (x,y,z)  0 — это объемная плотность распределения вещества в области V, то   — это масса всего вещества в трехмерной области V.

 

Основные свойства тройного интеграла

Аналогичны свойствам определенного интеграла по отрезку   и двойного интеграла по области D.

 

Свойство 1 (линейность тройного интеграла по подынтегральной функции)

 

,

где  — постоянные множители по x, y, z.

 

Свойство 2 (аддитивность тройного интеграла по области интегрирования)

 

Если V = V₁  V₂,       то  .

 

Свойство 3 (о значении тройного интеграла от функции, тождественно равной единице)

 

Если подынтегральная функция f(x,y,z)  1 для  , то тройной интеграл от неё по области V равен объему (мере) области интегрирования:

(здесь область V и её объём V обозначены одной буквой).

Свойство 4 (оценки значения тройного интеграла)

 

Если m и M — наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y,z) в замкнутой области V, то 

Если  |f(x,y,z)|  при (x,y,z)V, то 

 

Свойство 5 (теорема о среднем значении подынтегральной функции)

 

Если функция f (x,y,z) непрерывна в области V, то существует хотя бы одна точка P₀(x₀;y₀;z0)V  такая, что

При этом число   называется средним значением

функции f(x,y,z) по области V.