Пример №3

Найти y′ функции y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Решение

Для начала немного преобразим функцию y, выразив радикал (корень) в виде степени: y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7=(sin(5⋅9x))37. Теперь приступим к нахождению производной. Так как y=(sin(5⋅9x))37, то:

y′=((sin(5⋅9x))37)′(3.1)

Используем формулу №2 из таблицы производных, подставив в неё u=sin(5⋅9x) и α=37:

((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))37−1(sin(5⋅9x))′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′

Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′(3.2)

Теперь нужно найти (sin(5⋅9x))′. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё u=5⋅9x:

(sin(5⋅9x))′=cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′

Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′(3.3)

Осталось найти (5⋅9x)′. Для начала вынесем константу (число 5) за знак производной, т.е. (5⋅9x)′=5⋅(9x)′. Для нахождения производной (9x)′ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё a=9 и u=x: (9x)′=9x⋅ln9⋅x′. Так как x′=1, то (9x)′=9x⋅ln9⋅x′=9x⋅ln9. Теперь можно продолжить равенство (3.3):

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅5⋅9x⋅ln9==15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x.

Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав (sin(5⋅9x))−47 в виде 1(sin(5⋅9x))47=1sin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7. Тогда производная будет записана в такой форме:

y′=15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Ответ: y′=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Пример №4

Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.

Решение

В формуле №2 таблицы производных записана производная функции uα. Подставляя α=−1 в формулу №2, получим:

(u−1)′=−1⋅u−1−1⋅u′=−u−2⋅u′(4.1)

Так как u−1=1u и u−2=1u2, то равенство (4.1) можно переписать так: (1u)′=−1u2⋅u′. Это и есть формула №3 таблицы производных.

Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё α=12:

(u12)′=12⋅u12−1⋅u′=12u−12⋅u′(4.2)

Так как u12=u−−√ и u−12=1u12=1u−−√, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:

(u−−√)′=12⋅1u−−√⋅u′=12u−−√⋅u′

Полученное равенство (u−−√)′=12u−−√⋅u′ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения α.

Пример №5

Найти y′, если y=arcsin2x.

Решение

Нахождение производной сложной функции в данном примере запишем без подробных пояснений, которые были даны в предыдущих задачах.

Ответ: y′=2xln21−22x−−−−−−√.

Пример №6

Найти y′, если y=7⋅lnsin3x.

Решение

Как и в предыдущем примере, нахождение производной сложной функции укажем без подробностей. Желательно записать производную самостоятельно, лишь сверяясь с указанным ниже решением.

Ответ: y′=21⋅ctgx.

Пример №7

Найти y′, если y=9tg4(log5(2⋅cosx)).

Решение

6 Вопрос. Производная обратной функции примеры.

Производная обратной функции

Формула

Известно свойство степеней, что

тогда

Используя производную степенной функции:

будем иметь:

Примеры вычисления производной обратной функции

Пример

Задание. Найти производную функции 

Решение. Искомая производная

Константу - 3 выносим за знак производной (согласно правилам дифференцирования):

Тогда, согласно формуле получаем:

Или после упрощения

Ответ. 

Пример

Задание. Вычислить производную функции 

Решение. В знаменателе заданной функции стоит функция  , то есть

Поэтому необходимо найти производную сложной функции. Для этого находим производную от   :

и умножаем на производную от функции   :

Итак, имеем:

Производная суммы/разности равна сумме/разности производных. Тогда имеем:

Производная от независимой переменной равна единице:  , а производная от единицы, как от константы, равна нулю: 

Ответ. 

7.Вопрос.Производные функций, заданнных параметрически, неявно.

Производная функции, заданной неявно

Определение

Если независимая переменная   и функция   связаны уравнением вида  , которое не разрешено относительно  , то функция   называется неявной функцией переменной  .

Пример

Всякую явно заданную функцию   можно записать в неявном виде  . Обратно сделать не всегда возможно.

Несмотря на то, что уравнение   не разрешимо относительно  , оказывается возможным найти производную от   по  . В этом случае необходимо продифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию  как функцию от  , а затем из полученного уравнения найти производную  .

Пример

Задание. Найти вторую производную   неявной функции  .

Решение. Продифференцируем левую и правую часть заданного равенства, при этом помним, что  является функцией переменной  , поэтому производную от нее будем брать как производную от сложной функции. В итоге получаем:

Из полученного равенства выражаем  :

Для нахождения второй производной продифференцируем равенство   еще раз:

Подставив вместо   найденное выше выражение, получаем:

После упрощения получаем:

Из полученного равенства выражаем вторую производную  :

Ответ. 

Найти производную функции заданной неявно
Решение.	Продифференцируем левую и правую часть данного уравнения, учитывая, что   функция от   и производнаяот неё берется как от сложной функции. Сначала в левой части равенства берем производную как от логарифмической функции, а в правой части равенства производная константы равна нулю: По правилу дифференцирования частного Выразим из полученного уравнения   :
Ответ.

Найти производную неявно заданной функции
Решение.	Продифференцируем обе части данного выражения по  , учитывая, что   функция от   и производная от неё берется как от сложной функции. Выразим из этого равенства
Ответ.

8 Вопрос.Логарифмическое дифференцирование,примеры.

Логарифмическое дифференцирование

Для функций вида   для упрощения нахождения производной рациональнее использовать логарифмическое дифференцирование.

Суть метода логарифмического дифференцирования

Суть такого дифференцирования заключается в следующем: вначале находится логарифм заданной функции, а уже затем вычисляется от него производная. Пусть задана некоторая функция  . Прологарифмируем левую и правую части данного выражения:

Далее продифференцируем полученное равенство при условии, что   является функцией от  , то есть найдемпроизводную сложной функции:

А тогда, выражая искомую производную  , в результате имеем:

Пример

Задание. Найти производную функции 

Решение. Если находить производную данной функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования, то процесс будет очень трудоемким. Производную будем находить с помощью логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем левую и правую части заданной функции:

Используя свойства логарифмов, преобразуем правую часть полученного равенства к следующему виду:

Таким образом, получаем, что логарифм заданной функции равен:

Дифференцируем левую и правую часть последнего равенства, не забывая, что   является функцией переменной  :

Итак,

Отсюда

Подставляя вместо функции   ее выражение, окончательно будем иметь, что

Ответ. 

Найти производную функции
Решение.	Применим логарифмическое дифференцирование. Для этого прологарифмируем левую и правую часть данного равенства Теперь продифференцируем обе части последнего равенства по  распишем правую часть равенства по правилу дифференцирования произведения выразим  подставляя значение   в последнее равенство, окончательно получим
Ответ.

9 Вопрос.Производные высших порядков.Примеры

Производные высших порядков

На данном уроке мы научимся находить производные высших порядков, а также записывать общую формулу «энной» производной. Кроме того, будет рассмотрена формула Лейбница   таковой производной и по многочисленным просьбам – производные высших порядков от неявно заданной функции. Предлагаю сразу же пройти мини-тест:

Вот функция:   и вот её первая производная:

В том случае, если у вас возникли какие-либо трудности/недопонимание по поводу этого примера, пожалуйста, начните с двух базовых статей моего курса: Как найти производную? и Производная сложной функции. После освоения элементарных производных рекомендую ознакомиться с уроком Простейшие задачи с производной, на котором мы разобрались, в частности со второй производной.

Нетрудно даже догадаться, что вторая производная – это производная от 1-й производной:

В принципе, вторую производную уже считают производной высшего порядка.

Аналогично: третья производная – это производная от 2-й производной:

Четвёртная производная – есть производная от 3-й производной:

Пятая производная:  , и очевидно, что все производные более высоких порядков тоже будут равны нулю:

Помимо римской нумерации на практике часто используют следующие обозначения: , производную же «энного» порядка обозначают через  . При этом надстрочный индекс нужно обязательно заключать в скобки – чтобы  отличать производную от «игрека» в степени.

Иногда встречается такая запись:   – третья, четвёртая, пятая, …, «энная» производные соответственно.

Вперёд без страха и сомнений:

Пример 1

Дана функция  . Найти  .

Решение: что тут попишешь… – вперёд за четвёртой производной :)

Четыре штриха ставить уже не принято, поэтому переходим на числовые индексы:

Ответ: 

Если функция   имеет производную в каждой точке   своей области определения, то ее производная   есть функция от  . Функция  , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции   (или второй производной) и обозначают символом  . Таким образом

Пример

Задание. Найти вторую производную функции 

Решение. Для начала найдем первую производную:

Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:

Ответ. 

Задание.	Найти производную второго порядка функции
Решение.	Согласно определению, вторая производная - это первая производная от первой производной, то есть Поэтому сначала найдем производную первого порядка от заданной функции согласно правилам дифференцирования и используя таблицу производных: Теперь найдем производную от производной первого порядка. Это будет искомая производная второго порядка:
Ответ.

10 Вопрос. Дифференциал функции: Определение геометрический смысл. Инвариантная форма записи дифференциала.

Дифференциал функции

Пусть функция   дифференцируема в точке  , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно   и нелинейного членов:

где   при  .

Определение

Дифференциалом функции называется линейная относительно   часть приращения функции. Она обозначается как   или  . Таким образом:

Замечание

Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

Замечание

Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:

Замечание

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.

Геометрический смысл дифференциала

На рис. 50 изображен график некото­рой дифференцируемой функции f (х) в окрестности точки х0. Выражения ∆x, f (х0), f(х0+∆х) и ∆f=f(х0+∆х)-f(х0) геометрически означают соответственно длины следующих от­резков:АС, АВ, DC и DF. Треугольник ВЕFограничен горизонтальной линией BF, вертикальной линией EF и касательной к кривой BE. В силу геометрического смысла производной f ' (х0) есть тангенс углаEBF, a f ' (х0) ∆х = df есть длина отрезка EF. Таким образом, с геометрической точки зрения дифференциал равен приращению ординаты касательной от точки х0 до тонки х0 + ∆х. Заметим, что разделение приращения функции ∆f на две части: ∆f= f '(х0) ∆х + о (Ах) соответствует разделению отрезка DF: DF =-FE + ED. Длина отрезка EF, как уже отмечалось, равна значе­нию дифференциала, а длина отрезка ED - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем Ах. Действительно, из рис. 50 видно, что доля ED в отрезке DFстремится к нулю при ∆х->0.

Инвариантность формы записи

Чтобы найти дифференциал сложной функции, достаточно найти дифференциал внешней функции, приращение независимой переменной   трактовать как приращение зависимой и раскрыть его.

Инвариантность формы записи дифференциалов первого порядка

Пример

Инвариантность формы записи дифференциалов второго порядка

Однако, уже для второго порядка, это не верно: 

Упс! Инвариантности нет.

Формула Лейбница

Определённое значение имеет так называемая формула Лейбница для вычисления  :

.

Эта формула доказывается по индукции аналогично биномиальным коэффициентам.

11.Вопрос.Основные теоремы о дифференциалах. Таблица дифференциалов.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма

Теорема

Теорема Ферма. (О равенстве нулю производной)

Пусть функция   удовлетворяет следующим условиям:

1. она дифференцируема на интервале  ;

2. достигает наибольшего или наименьшего значения в точке  .

Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть  .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма)

В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Ролля

Теорема

Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция 

1. непрерывна на отрезке  ;

2. дифференцируема на интервале  ;

3. на концах отрезка   принимает равные значения  .

Тогда на интервале   найдется, по крайней мере, одна точка   , в которой  .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Следствие.

Если  , то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

Решаем производные, недорого

Теорема Лагранжа

Теорема

Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях)

Пусть функция 

1. непрерывна на отрезке  ;

2. дифференцируема на интервале  .

Тогда на интервале   найдется по крайней мере одна точка   , такая, что

Замечание

Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда  .

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Лагранжа)

На кривой   между точками   и   найдется точка  , такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде   (рис. 1).

Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде:

Теорема Коши

Теорема

Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции   и  :

1. непрерывны на отрезке  ;

2. дифференцируемы на интервале  ;

3. производная   на интервале  ,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка   , такая, что

Таблица дифференциалов

12.Вопрос.Применение дифференциалов в приближённых вычислениях значений функций. Дифференциалы высших порядков .Примеры.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Приращение   функции   представимо в виде:

где функция   является б.м. функцией при стремлении аргумента   к нулю. Так как  , то

В силу того, что второе слагаемое   является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому

А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

Пример

Задание. Вычислить приближенно   , заменяя приращение функции ее дифференциалом.

Решение. Рассмотрим функцию  . Необходимо вычислить ее значение в точке   . Представим данное значение в виде следующей суммы:

Величины   и   выбираются так, чтобы в точке   можно было бы достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а   было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что   , то есть  ,  .

Вычислим значение функции   в точке  :

Далее продифференцируем рассматриваемую функцию и найдем значение  :

Тогда

Итак,

Ответ. 

С помощью дифференциала вычислить приближенно
Решение.	Для вычисления данного значения применим формулу из теории Введем в рассмотрение функцию  , а заданную величину представим в виде   , тогда Вычислим Подставляя все в формулу, окончательно получим
Ответ.

Задание.	С помощью дифференциала вычислить приближенно
Решение.	Представим данную величину в виде   и введем функцию , где  Переведем градусы в радианы: Далее воспользуемся формулой из статьи - применение дифференциала в приближенных вычислениях Вычисляя и подставляя все в формулу, окончательно получим
Ответ.

Дифференциалы высших порядков

Пусть функция   зависит от переменной   и дифференцируема в точке  . Может оказаться, что в точке  дифференциал  , рассматриваемый как функция от  , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала   данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции  . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Определение

Дифференциалом  -го порядка   функции   называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть

Получим формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Рассмотрим несколько случаев.

Случай независимой переменной

Пусть   - функция независимой переменной  , имеющая дифференциалы любого порядка. Первый дифференциал функции

где   - некоторое приращение независимой переменной  , которое мы задаем сами и которое не зависит от  . По определению

Переменной является аргумент  . Значит, для дифференциала величина   является постоянной и поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка

Для вычисления дифференциала   применим формулу дифференциала первого порядка к функции  . Тогда получим:

Итак,

Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала  -го порядка:

Пример

Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции 

Решение. По формуле

Найдем третью производную заданной функции:

Тогда

Ответ. 

Больше примеров решенийРешение производных онлайн

Случай зависимой переменной

Пусть задана дифференцируемая функция  . Тогда

где   в общем случае не является постоянной величиной. Поэтому дифференциал от функции  берем как дифференциал от произведения

Пример

Задание. Найти дифференциал второго порядка   функции  , где   и   - независимая переменная.

Решение. Решим пример разными способами и сравним ответы.

1-ый способ. Согласно формуле, имеем, что искомый дифференциал

Найдем все необходимые компоненты формулы. Из условия имеем:

А тогда:

2-ой способ. Из того, что   и  , получаем:

А тогда

Найдем вторую производную функции  :

Окончательно имеем:

Ответ. 

Задание.	Найти дифференциал пятого порядка   функции  , последовательным дифференцированием.
Решение.	Дифференциал пятого порядка вычисляется по формуле Найдем последовательно все производные Тогда по формуле, имеем
Ответ.

13 Вопрос. Правило Лопиталя, применение его к вычислению пределов. Примеры.

Правило Лопиталя