15. Дифференциал. Инвариантность формул первого дифференциала

 

Определение

Дифференциалом  в точке x, соответствующему  называется главная линейная часть приращения функции.  .

То есть если существует производная, то   при  , и дифференциал  . Когда x=const, то переменной является   и дифференциал будет линейной функцией.

 

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал - приращение, снимаемое с касательной в данной точке.  При  .  Если  , то  . Тогда  , или  .

 

Таблица дифференциалов

 

Теорема 15.1

Пусть существуют функции  и  , имеющие дифференциалы. Тогда справедливы равенства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Если  , то  .

Доказательство

Пользуясь теоремой 14.3 о свойствах производной, умножив равенства на  .

 

Инвариантность формул первого дифференциала

Пусть существует сложная функция  , и существует ее производная:  . Считая y независимой переменной, получим формулу дифференциала:  . Теперь, если считать y зависимой от x, получим:  , т.к.  . То есть получается, что формула дифференциала не зависит от типа переменной.

Не взирая на то, является ли переменная x зависимой или нет, для вычисления дифференциала используется единая формула - инвариантность формул.

 

Определение

Функция   называется дифференцируемой в точке x, если   при  .

 

Теорема 15.2

Для того, чтобы функция   была дифференцируемой в точке x, необходимо и достаточно, чтобы существовала производная в этой точке.

Доказательство

1. Достаточность  . Так как существует  , то по теореме 14.2  . Обозначим  , это удовлетворяет условию дифференцируемости.

2. Необходимость  . По определению дифференцируемости  . Выразим   при  . Значит, существует предел  , т.е. 

.

40.Вопрос.Произвольная по направлению. Градиент примеры.

 Пусть в некоторой области 3-х мерного пространства задано скалярное поле  . Выберем в этой области точку  . Если перемещаться из этой точки вдоль какой-либо линии, то поле будет меняться от точки к точке. Причем, ясно, что для различных направлений скорость изменения   также может оказаться различной и должна характеризовать само поле в рассматриваемой точке или ее окрестности. При этом, по смыслу рассуждений, эта величина должна быть векторной. Рассмотрим строгое определение этой характеристики на примере гидромеханической аналогии. Пусть в пространстве задано скалярное поле давления жидкости или газа. Поместим в эту область тело произвольной формы, ограниченное поверхностью  , (рис. 24). Вычислим суммарую силу  , действующую на тело со стороны среды. 

Рис.24 К определению градиента скалярной функции

Рассмотрим площадку  , содержащую точку   на поверхности  . Модуль силы, действующей на площадку  , равен  , а направление совпадает с направлением нормали к поверхности в точке  . Таким образом, вектор силы

(71)

Полная сила может быть вычислена интегрированием по поверхности  :

(72)

Если результат (72) разделить на объем  , заключенный внутри поверхности  , то получившаяся величина

(73)

будет "средней" силой, действующей со стороны среды на любую точку внутри  . Физической причиной этого действия является перепад давлений между различными точками среды.

       Способность поля (в данном случае поля давлений) оказывать действие на пробное тело является характеристикой самого поля и поэтому не должна зависеть на формы и размеров тела, помещенного в это поле. Будем стягивать поверхность   к точке  , устремляя, таким образом,   и рассмотрим предел

(74)

Если предел (74) существует, то по смыслу рассуждений он определит плотность силы, действующей со стороны поля (давлений) на точечное тело, помещенное в точку   и будет характеризовать быстроту изменения поля (перепад давлений) в окрестности этой точки.

      Рассмотрим общий случай скалярного поля  . Если для поля   существует предел (74) при стягивании поверхности к точке  , то он называется градиентом поля   в этой точке:

(75)

По определению   является вектором и вообще, выражение (75), будучи примененным в каждой точке области определения поля  , будет задавать векторное поле градиента  .

      Формула (75) задает определение   в форме, независящей от системы координат - инвариантно. Пользуясь (75), получим формулу вычисления градиента скалярного поля в декартовой системе координат. Тогда, так как вектор нормали  :

(76)

Применим к каждому слагаемому (76) формулу Остроградского-Гаусса (3.1):

(77)

Применяя теорему о среднем к правой части (77), получим

(78)

переходя к пределу   и сравнивая с определением градиента (75), получим формулу для вычисления градиента в декартовой системе координат:

(79)

      Производная по направлению. Выберем в пространстве, где задано скалярное поле   некоторое направление с помощью единичного вектора  . Считая, что этот вектор определяет координатную ось   и пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, вычислим производную

(80)

Полученное выражение, учитывая, что   - координаты вектора  ,можно переписать как скалярное произведение

(81)

Это выражение (81) называется производной по направлению   поля  .

Из определения (81) следуют свойства градиента:

1.  направлен перпендикулярно к линии уровня  ;

2.  направлен в сторону наискорейшего возрастания функции  ;

Формула (79) позволяет получить следующие свойства и правила вычисления  :

1.		(82)
2.		(83)
3.	(сложное поле)	(84)

       Пример 3-8. Вычислить градиент поля  , где   - модуль радиус-вектора,  .

       Решение. Согласно выражению (79), получим

Аналогично,  ,   и тогда, складывая вычисленные производные, получим:

   или в бескоординатной форме