10.1.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода

Теорема(первый признак сравнения). Пусть f(x), g(x) - непрерывны при x>a, причем $0<f(x)a$. Тогда</f(x)

1. Если интеграл

∫+∞ag(x)dx

сходится, то сходится и интеграл

∫+∞af(x)dx.

2. Если интеграл

∫+∞af(x)dx

расходится, то расходится и интеграл

∫+∞ag(x)dx.

Теорема(второй признак сравнения). Пусть f(x), g(x) - непрерывны и положительны при x>a, причем существует конечный предел

θ=limx→+∞f(x)g(x),θ≠0,+∞.

Тогда интегралы

∫+∞af(x)dx,∫+∞ag(x)dx

сходятся или расходятся одновременно.

Пример.

Задачи.

Пример 1.  Интеграл   сходится, поскольку существует конечный предел соответствующего определенного интеграла:

***

Пример 2.  Интеграл   сходится, поскольку существует конечный предел соответствующего определенного интеграла:

***

Пример 3.  Интеграл   сходится, поскольку существует конечный предел соответствующего определенного интеграла при  :   при

***

Пример 4.  Несобственный интеграл   является расходящимся, поскольку предел соответствующего определенного интеграла равен бесконечности:

***

Пример 5.  Несобственный интеграл   расходится, поскольку предел соответствующего определенного интеграла не существует:

30.Вопрос.Несобственные интегралы второго рода (определения, примеры)

Несобственные интегралы второго рода

Определение. Пусть f(x) задана на полуинтервале [a,b) и   Пусть далее для всякого   существует интеграл   Предел   называется несобственным интегралом второго рода (интегралом от неограниченной функции) и обозначается   Если   существует и конечен, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.  Аналогично определяются несобственные интегралы второго рода в случаях, когда подынтегральная функция бесконечно большая на нижнем пределе, во внутренней точке отрезка [a,b], на верхнем и нижнем пределах одновременно. Мы рассмотрим случай особенности на верхнем пределе. Для остальных вариантов предлагается проделать это самостоятельно.  Пример. Рассмотрим  . Пусть   Тогда    Таким образом, рассмотренный интеграл при   расходится. Пусть теперь   Тогда

и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при   сходится и при  расходится. Интегралы  ,  ,   используются в признаке сравнения в качестве эталонных.  Аналогично случаю несобственных интегралов первого рода формулируются и доказываются критерий Коши и признаки сравнения для несобственных интегралов второго рода.  Теорема 2.7.(Критерий Коши). Несобственный интеграл второго рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого ε>0 существует  такое, что для всех   выполняется неравенство    Доказательство этого результата опустим.  Теорема 2.8. Пусть для всякого  выполнено неравенство  . Тогда, если интеграл   сходится, то интеграл   сходится, а если интеграл   расходится, то интеграл   расходится.  Доказательство опустим.  Теорема 2.9. Если f(x) и g(x)бесконечно большие одного порядка роста, то есть  , то интегралы  и  либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Примеры 1. Выяснить сходимость интеграла    По определению имеем

2. Выяснить сходимость интеграла    Подынтегральная функция имеет особенность в точках   и   Разбиваем интеграл на два

Первый из этих интегралов сходится, так как порядок роста подынтегральной функции при  относительно 1/x равен ½ , а второй расходится, так как порядок роста подынтегральной функции при   относительно   равен 1.

31.Вопрос.Геометрические приложения определённого интеграла площадь плоской фигуры,

длина дуги кривой, вычисление объёмов тел превращения .Примеры.

1. Вычисление площади плоской фигуры

 

1.1. Пусть функция   непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда площадь фигуры, ограниченной осью ОХ, отрезками прямых x = a, x = b и графиком функции  , может быть вычислена по формуле   (см. 10.1 рис. 1).

1.2. Если   на отрезке [a, b],    непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, x = b, графиками функций   вычисляется по формуле   (рис. 10).

1.3. Если функция   на отрезке [a, b] принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой   и осью  , равна   (рис. 11).

      

 

     Рис. 10                                                                   Рис. 11

 

П р и м е р  15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций   и  .

Решение. Вычислим координаты точек пересечения графиков этих функций. Для этого решим систему

 

 

=

 

 кв. ед. (рис. 12).

1.4. При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями     t   в формуле   надо сделать замену переменной, положив  , тогда получим  , где  и   значения параметра t, соответствующие значениям x=a и x=b, т. е.  .

П р и м е р  16. Найти пло-щадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды     и осью  .

 

Замечание. Циклоида  плоская кривая, которую описывает точка М окружности радиуса a, катящаяся без скольжения по прямой линии (рис. 13).

 

Решение. Искомая площадь

;  .

 

П р и м е р  17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями , y = 2  .

Решение. Из условия задачи следует, что y>0 при любом t. Решим  неравенство

, , .

Но по условию  . При k = 0

 2  t  3 2     ,  .

При   x не будет принадлежать интервалу  . Фактически нужно вычислить площадь фигуры, заключенной между прямой y = 2 и частью циклоиды, расположенной выше этой прямой (рис. 14).

Искомая площадь

 

 

 

 

.

 

2 . Вычисление площади криволинейного сектора. Пусть кривая AB зада-на в полярных координатах уравнением  ,  , причем    непрерывная и неотрицательная на отрезке   функция. Фигуру, ограниченную кривой AB и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы  , будем называть криволинейным сектором.

Площадь криволинейного сектора может быть вычислена по формуле

 

                        .               (27)

П р и м е р  18. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой   (4-лепестковая роза  рис. 16).

Решение. Меняя непрерывно  от 0 до  , можно построить первый лепесток. Составим таблицу значений функций (табл. 3).

Таблица 3

 

	0
	0	2		4		2	0

 

В ычислим площадь одного лепестка по формуле (27)

 

 

.

 

Следовательно, площадь всех лепестков

 

.

 

П р и м е р  19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями  ,      (рис. 17).

Решение. При изменении   от 0 до   полярный радиус   опишет кривую, изображенную на (рис. 17),   при  . Уравнение   есть уравнение окружности с центром в точке 0 радиуса 2. Найдем, при каких   линии пересекаются. Для этого решим систему

 

;

 

;   ;    .

И тогда искомая площадь

 

 

 

;

 

.

 

3. Вычисление длины дуги плоской кривой

3.1 Если функция y = f(x) непрерывна вместе с её производной f'(x) на отрезке [a, b], то длина дуги AB, где A(a,f(a)), B(b, f(b)), выражается формулой

 

                                     .                                        (28)

 

3.2. Если кривая задана параметрическими уравнениями    , где x(t), y(t)  дифференцируемые функции, то длина дуги

 

                                      .                                         (29)

 

3.3. Если дуга задана в полярных координатах  ,   , то длина дуги

 

                                  .                                     (30)

 

П р и м е р  20. Вычислить длины дуг плоских кривых:

 

а)  ;   б)    ;

 

в)  ,   .

Решение. а) Воспользуемся формулой (10). Так как 

 

,

 

то

.

 

б) Воспользуемся формулой (11). Так как      , то .

в)  .

4. Вычисление объемов. Нахождение объемов некоторых тел можно свести к вычислению определенных интегралов.

4.1. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикулярными оси OX, т. е., зная х, мы можем вычислить площадь сечения S = S (x). Тогда объем тела   в предположении, что S(x)  интегрируемая функция.

4.2. Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела  ;

б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой  , прямыми y=c, y=d (c<d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем  ;

в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b   и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле  ;

г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой  , двумя полярными радиусами   и  , то  объем полученного тела может быть вычислен по формуле  .

П р и м е р 21. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций   и   вокруг оси  OX.

Решение. Найдем точки пересечения параболы   и прямой  . Решим систему:

 

       

 

Получим две точки пересечения:

х ₁ = 1, у₁ = 1; х₂ = 2, у₂ = 0.

 

Сделаем чертеж (рис. 19).

 

.

Рис. 20

П р и м е р  22. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

 

;  z = 0;  z = 3.

 

Решение.    однополостной гиперболоид. При пересечении его плоскостями z = h в сечении получаем эллип-сы   (рис. 20) с полуосями  ,  . Как известно, площадь эллипса     

 

 

 куб. ед.

 

5. Вычисление площади поверхности вращения

5.1. Поверхность, образованная вращением кривой  , a < x < b вокруг оси OX, имеет площадь

 

                             .

 

5.2. Если кривая задана параметрическими уравнениями

 

    ,

 

причем  , то

 

.

 

5.3. Если дуга  ,  , задана в полярной системе координат кривой, и вращается вокруг полярной оси, то площадь поверхности вращения можно вычислить по формуле

.

 

П р и м е р  23. Найти площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением части окружности x² + y² = R²    вокруг оси OX (рис. 21).

Решение. Из уравнения окружности имеем  . Вращаем вокруг оси ОХ дугу верхней части. 

Найдем   и   Тогда по соответствующей формуле площадь шарового пояса 

 

 

Физические приложения определенного интеграла

 

           Вычисление работы с помощью определённого интеграла.

Пусть под действием некоторой силы   материальная точка М движется по прямой в направлении оси  . Требуется найти работу, произведённую силой   при перемещении точки М из положения   в положение  .

1)     Если сила постоянна  , то работа выражается следующим образом  .

2)     Если сила переменная величина, то  .

Пример:

Два электрических заряда   и   находятся на оси   соответственно в точках   и  . Какая работа будет произведена, если второй заряд переместится в точку  ? (Сила взаимодействия зарядов  ).

Решение:

= = = =

= .

                                   Координаты центра тяжести.

     Центром тяжести совокупности материальных точек называется центр параллельных сил тяжести, приложенных в этих точках. 

     Для материальной дуги АВ плоской кривой   прямоугольные координаты центра тяжести   определяются формулами  :

        ,           .

     Для материальной однородной криволинейной трапеции, прилежащей к оси   и имеющей верхнюю границу  , центр тяжести имеет координаты 

                               

 где  площадь криволинейной трапеции.

Центр тяжести произвольной плоской, ограниченной графиком функции 

   сверху и   снизу, определяется формулами 

              

Пример:

Найти координаты центра тяжести однородного полукруга  , расположенного над осью  .

Решение:

Применим формулы 

                          

Так как полукруг расположен над осью  , то верхняя граница задаётся уравнением   В силу симметрии фигуры относительно оси ординат, абсцисса   центра тяжести равна нулю. Найдём ординату:

Координаты центра тяжести имеют вид 

 

32.Вопрос.Понятие функции нескольких переменных

(Определение, область определения, область значений, график, линии уровня).Примеры

Функции нескольких переменных

1. Функция двух переменных и ее область определения

Определение. Переменная   называется функцией двух переменных   и  , если: 1) задано множество   пар численных значений   и  ; 2) задан закон, по которому каждой паре чисел   из этого множества соответствует единственное численное значение. При этом переменные   и   называются аргументами или независимыми переменными. Обозначения функций двух переменных аналогичны обозначениям функций одной переменной: ,  ,  ,   и т.д. При нахождении частного значения   функции  , которое она принимает при заданных значениях аргументов   и  , пишут   или  . Определение. Множество   всех пар значений аргументов данной функции двух переменных называется областью определения этой функции. Например, областью определения функции   является множество, для которого  . Множество   таких точек образует внутренность круга с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Графиком функции двух переменных в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве является в общем случае поверхность. Линией уровня функции   называется линия   на плоскости  , в точках которой функция сохраняет постоянное значение  . Аналогично   функция трех переменных.

 

Определение. Пусть имеется п переменных величин, и каждому набору их значений (х_х, х₂,..., х_п) из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной вели­чины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменныхz=f(х_х, х₂,..., х_п).

Переменные х_х, х₂,..., х_п называются независимыми переменными или аргументами, z — зависимой переменной, а символ f означа­ет закон соответствия. Множество Xназывается областью оп­ределения функции. Очевидно, это подмножество n-мерного пространства.

Функцию двух переменных обозначают z=f(x, у). Тогда ее область определения X есть подмножество ко­ординатной плоскости Оху.

Окрестностью точки   называется круг, содержа­щий точку   (см. рис. 1).

Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интерва­ла на прямой.

При изучении функций нескольких переменных используется математи­ческий аппарат: любой функции z=f(x, у) можно по­ставить в соответствие пару функций одной переменной: при фиксированном значении х=х₀ функцию z=   и при фиксированном значении у=у₀ функцию z=f(x, у₀).

Графиком функции двух переменных z=   называется множе­ство точек трехмерного пространства (х, у, z), аппликата z кото­рых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соот­ношением z=   .

Для построения графика функции z=f(x, у) полезно рассмат­ривать функции одной переменной z=f(x, у₀) и z=   , пред­ставляющие сечения графика z=f(x, у)плоскостями, парал­лельными координатным плоскостям Oxz и Oyz, т.е. плоскостями у= у₀ и х=х₀.

Пример 1. Построить график функции   .

Решение. Сечения поверхности   =   плоскостями, параллельными координатным плос­костям Oyz и Oxz, пред­ставляют параболы (на­пример, при х = 0   , при у = 1   и т.д.). В се­чении поверхности кординатной плоско­стью Оху, т.е. плоско­стью z=0, получается окружность   График функции представляет поверх­ность, называемую па­раболоидом (см. рис. 2)

 

Определение. Линией уровня функции двух переменных z=f{x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Число С в этом случае называется уровнем.

На рис.3 изображены линии уровня, соответствую­щие значениям С=1 и С=2. Как видно, линия уровня   состо­ит из двух непересекающихся кривых. Линия   – самопере­секающаяся кривая.

Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, паралле­ли и меридианы на глобусе — это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображе­нием изотерм — линий уровня температуры.

Пример 2. Построить линии уровня функции   .

Решение. Линия уровня z=C это кривая на плоскости Оху, задаваемая уравнением х²+ у² - 2у = С или х² + (у - I)² = С+1. Это уравнение окружности с центром в точке (0; 1) и радиусом   (рис. 4).

Точка (0; 1) — это вырожденная линия уровня, соответст­вующая минимальному значению функции z=-1 и достигаю­щемуся в точке (0; 1). Линии уровня — концентрические ок­ружности, радиус которых увеличивается с ростом z=C, при­чем расстояния между линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра. Линии уровня по­зволяют представить график данной функции, который был ранее построен на рис. 2.

Частные производные

Дадим аргументу х приращение ∆х, аргументу у — приращение ∆у. Тогда функция zполучит наращенное значение f(х+∆х, у+∆у). Величина ∆z=f(x+∆x, y+∆y)-f{x, у)называется полным приращени­ем функции в точке (х; у). Если задать только приращение аргу­мента x или только приращение аргумента у, то полученные при­ращения функции соответственно   и   называются частными.

Полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных, т.е. 

Пример 15.6.Найти частные и полное приращения функции z=xy.

Решение.   ;   ;   .

Получили, что 

Определение. Частной производной функции несколь­ких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответст­вующего частного приращения функции к приращению рас­сматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так:   или   , или   .

Для нахождения производной   надо считать постоянной переменную у, а для нахождения   — переменную х. При этом сохраняются известные правила дифференцирова­ния.

Пример.Найти частные производные функции:

a) z=x ln y+   .

Решение: Чтобы найти частную производную по х, считаем у постоянной величиной. Таким образом,   . Аналогично, дифференцируя по у,считаем х постоянной величиной, т.е   .

Дифференциал функции

Определение. Дифференциалом функции называется сумма про­изведений частных производных этой функции на приращения соот­ветствующих независимых переменных, т.е.

dz=   . (1)

Учитывая, что для функций f(х, у)=х, g(x, у)=у согласно (1) df=dx=∆x; dg=dy=∆yформулу дифференциала (1) можно запи­сать в виде dz=z'_x dx+z'_y dy (2)или 

Определение.Функция z=f(x, у) называется дифференцируемойв точке (х, у), если ее полное приращение может быть представлено в виде   (3),где dz — дифференциал функции,   – ,бесконечно малые при   .

Достаточное условие дифферен­цируемости функции двух переменных.

Теорема.Если частные производные функции z'_v (x, у) существу­ют в окрестности точки (х, у) и непрерывны в самой точке (х, у), то функция z=f{x, у) дифференцируема в этой точке.

33.Вопрос.Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных. Примеры. Геометрический смысл частных производных функций двух переменных.

ЧАСТНЫЕ ПРИРАЩЕНИЯ И ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ