6.Теорема о единственности предела
Как мы говорили с Вами в прошлой статье, единственность предела следует из определения предела функции по Гейне. Однако давайте сформулируем и докажем теорему о единственности предела.
Теорема о единственности предела
Формулировка:
Если
функция 
в
точке 
имеет
предел, то этот предел единственный.
Доказательство:
Докажем
методом от противного. Предположим,
что 
, 
, 
.
Возьмём 
,
по определению и свойству окрестности
найдётся такая проколотая
-окрестность
точки
(
),
в которой одновременно будут выполнятся
неравенства 
, 
,
тогда в точках этой же
окрестности 
Получили
противоречие 
.
Отсюда, функция
в
точке
имеет
единственный предел.
7.Теорема о зависимости между функцией и с ее пределом
8.Теорема об ограниченности функции, имеющей предел
Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел
Формулировка:
Если предел
функции
при 
равняется 
,
то найдётся окрестность точки
,
во всех точках которой функция
ограничена.
Доказательство:
Из определения
предела по Коши получим: 
Возьмём 
.
Из условия теоремы следует существование
окрестности
.
Следовательно, 
.
Перепишем это следующим образом:
.
Легко видеть, что это и означает
ограниченность функции
.
9. Теоремы о пределах суммы, произведения, частного двух функций. Первый и второй замечательные пределы. Примеры вычисления.
Теоремы:
1)Предел
суммы двух функций равен сумме их
пределов:
.
Доказательство:
Пусть 
,
.
Тогда по теореме о связи функции, её
предела и бесконечно малой функции
можно записать: 
и 
.
Следовательно, 
,
где 
-
бесконечно малая функция (по свойству
бесконечно малых функций). Тогда по
теореме о связи функции, её предела и
бесконечно малой функции можно
записать 
, или
.
2)Предел
произведения двух функций равен
произведению их пределов:
.
Доказательство:
Пусть
,
.
Тогда
и 
.
Следовательно
,
.
Выражения
в скобках, по свойствам бесконечно малых
функций, - бесконечно малая функция.
Тогда 
,
т.е.
.
2)Предел
частного двух функций равен пределу
делимого, деленного на предел делителя,
если предел делителя не равен:
.
Доказательство:
Пусть
,
.
Тогда 
и 
.
Тогда 
. По
свойствам бесконечно малых функций,
второе слагаемое – бесконечно малая
функция.
Поэтому 
,
т.е. 
Первый и второй замечательные пределы:
1)Первый
замечательный предел: 
Пример вычисления:
.
2)Второй
замечательный предел: 
Пример вычисления:
Вычислим 
.
Пусть 
.
Тогда: 
.
10.Теорема «о двух милиционерах»
Теорема о двух милиционерах
Если 
выполняются
неравенства 
и
если 
то 
.
Доказательство
Воспользуемся определением
предела по Гейне.
Пусть 
–
последовательность из
,
причем 
.
Тогда выполняются условия 
и 
.
Тогда в силу свойств
пределов последовательностей 
.
Следовательно 
.
Теорему
можно проиллюстрировать следующим
графиком:
Если выполняется неравенство
и
если
, 
,
то 
.
Доказательство
Воспользуемся определением
предела по Гейне.
Пусть
–
последовательность из
,
тогда числа
и 
будут
пределами последовательности 
т.е.
и 
Тогда
в силу свойств
пределов последовательностей