Примеры исследования последовательностей на монотонность

Пример

Задание. Исследовать последовательность   на монотонность.

Решение. Рассмотрим разность  -го члена последовательности   и ее  -го члена  :

а тогда делаем вывод, что   - возрастающая последовательность.

Ответ.   - возрастающая последовательность.

Пример

Задание. Исследовать последовательность   на монотонность.

Решение. Найдем отношение  -го члена последовательности   к ее  -му члену  :

Для   выражение   , то есть заданная последовательность  является монотонно убывающей.

Ответ.   - монотонно убывающая последовательность.

Нестрогая монотонность

Последовательность   является неубывающей или нестрого возрастающей (невозрастающей или нестрого убывающей), если для  , 

Последовательность   называется монотонной, если она убывающая или возрастающая.

Если все элементы последовательности   равны одному и тому же числу, то последовательность называется постоянной.

Пример

Последовательность   является постоянной, так для любого натурального   :

Предел числовой последовательности

Определение

Последовательность   называется сходящейся, если существует такое число   такое, что последовательность   является бесконечно малой последовательностью.

Определение

Число   называется пределом последовательности   и обозначается  ,

Число   называется пределом последовательности   , если для любого   существует номер  такой, что для любого   выполняется неравенство   :

Определение

Целой частью   некоторого числа   называется наибольшее целое число, не превосходящее 

Пример

Задание. Найти целую часть чисел - 2,36; 2,36; 2.

Решение. 

Пример

Задание. Доказать равенство: 

Доказательство. Исходя из определения, 0 будет пределом последовательности   , если для любого  найдется такой номер  , что для любого   выполняется неравенство :

В качестве   возьмем 

Итак, для любого   указано соответствующее значение   , а тогда равенство   доказано.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Определение

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся; иначе - расходящейся.

Пример

Задание. Доказать, что последовательность   не имеет предел.

Доказательство. Пусть   - предел рассматриваемой последовательности, то есть  . Рассмотрим 

Пусть   :

Пусть   :

Так как полученные выражения не равны, то данная последовательность предела не имеет.

Постоянная последовательность   имеет предел, равный числу   : 

Теорема

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема

(Необходимый признак сходимости последовательности).

Сходящаяся последовательность ограничена.

Последовательность на бесконечности

Последовательность   имеет бесконечный предел, если для любого 

Последовательность   называется бесконечно малой, если 

Последовательность   называется бесконечно большой, если для любого   существует номер   такое, что для любого 

Теорема

Пусть   , тогда

а)   ;

б)   ;

в) если   , то начиная с некоторого номера заданная последовательность 

Бесконечно малые функции

Определение

Функция   называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при   (или в точке   ), если

Пример

Функция   является бесконечно малой (б.м) функцией при  .

Основные свойства бесконечно малых функций

1°   Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.

2°   Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.

3°   Произведение двух б.м функций есть функция б.м.

4°   Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.

5°   Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.

6°   Функция  , обратная к б.м функции  , есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.

Пример

Задание. Доказать, что функция   является бесконечно малой в точке  .

Доказательство. Из того, что   делаем вывод, что функция  является б.м при  . Функция   является ограниченной:  . А тогда их произведение  , согласно свойству №3, является функцией б.м.

Теорема

Пусть   - предел функции   в точке  :   . Тогда заданную функцию можно представить в виде  , где   - б.м функция. Верно и обратное утверждение.

Пример

Задание. Доказать, что  .

Доказательство. Рассматриваемую функцию   представим в виде суммы предела этой функции - числа 5 и бесконечно малой функции   :

А тогда, по выше приведенной теореме, делаем вывод, что  .