Рекуррентный способ задания последовательности

Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения. В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу. Например, известен первый член   последовательности и известно, что   , то есть   и так далее до нужного члена.

Пример

Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел Фибоначчи - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно:

Пример

Задание. Последовательность   задана при помощи рекуррентного соотношения   . Выписать несколько первых членов этой последовательности.

Решение. Найдем третий член заданной последовательности:

Аналогично находим далее, что

и так далее.

При рекуррентном задании последовательностей, получаются очень громоздкими выкладки, так как, чтобы найти элементы с большими номерами, необходимо найти все предыдущие члены указанной последовательности, например, для нахождения   надо найти все предыдущие 499 членов.

Ограниченные последовательности

Определение

Последовательность   называется ограниченной сверху, если существует такое число   , что для любого номера   , 

Последовательность   называется ограниченной снизу, если существует такое число   , что для любого номера   , 

Последовательность   называется ограниченной, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число   , что для любого номера   , 

Последовательность   называется неограниченной, если существует такое число   , что существует такой номер   , что 

Примеры исследования последовательности на ограниченность

Пример

Задание. Исследовать последовательность   на ограниченность.

Решение. Заданная последовательность является ограниченной, так как для любого натурального номера   выполняются неравенства:

То есть последовательность является ограниченной снизу нулем, и вместе с тем является ограниченной сверху единицей, а значит, является и ограниченной.

Ответ. Последовательность ограничена - снизу нулем, а сверху единицей.

Пример

Задание. Исследовать последовательность   на ограниченность.

Решение. Рассмотрим   и попробуем его оценить сверху:

Так как модуль суммы меньше либо равен сумме модулей:   , то получаем, что

Выражение   принимает свое максимальное значение, когда знаменатель является наименьшим. Знаменатель будет минимальным при наименьшем значении   , то есть для   . А тогда

А таким образом, существует такое число   , что для любого номера   ,   . Значит, по определению последовательность   ограничена.

Ответ. Последовательность   ограничена

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Определение

Последовательность   называется бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если для любого   существует номер   такой, что для любого   выполняется неравенство:

Последовательность   называется бесконечно большой (б.б.п.), если для любого  существует номер   такой, что для любого   выполняется неравенство: 

Основные свойства б.м. и б.б. последовательностей

1°   Сумма б.м. последовательностей есть б.м.п.

2°   Произведение ограниченной последовательности и б.м. есть б.м.п.

3°   Если   - б.м.п., то   - ограниченная последовательность.

4°   Произведение б.м.п. есть последовательность б.м.

5°   Если   - б.м.п. и   , то   , т.е. 

6°   Если   - б.м.п. и   , то последовательность   - б.б.п.

7°   Если   - б.б.п., то   и последовательность   - б.м.п.

Монотонные последовательности

Основные понятия и определения

Определение

Последовательность   называется монотонно возрастающей, если для любого   ,

Пример

Последовательность   является возрастающей, так как для любого   , 

Можно дать еще одно альтернативное определение возрастающей последовательности.

Определение

Последовательность   называется монотонно возрастающей, если для любого   , 

Определение

Последовательность   называется монотонно убывающей, если для любого   , 

Или,

Последовательность   называется монотонно убывающей, если для любого   , 

Пример

Последовательность   является убывающей, так как для любого   ,