Умножение комплексных чисел Умножение комплексных чисел в алгебраической форме

Определение

Произведением двух комплексных чисел   и   называется комплексное число  , равное

На практике чаще всего комплексные числа перемножают как алгебраические двучлены  , просто раскрыв скобки, в полученном результате надо учесть, что   .

Пример

Задание. Найти произведение комплексных чисел   и   .

Решение. Перемножим заданные комплексные числа как два двучлена, то есть

Ответ. 

Умножение комплексных чисел в геометрической форме

Если комплексные числа   и   заданы в геометрической форме:  , , то произведением этих чисел есть число

То есть модуль произведения двух комплексных чисел в тригонометрической форме равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей.

Пример

Задание. Найти произведение чисел  ,   .

Решение. Модуль произведения равен  , а аргумент  , а тогда искомое число в тригонометрической форме имеет вид:

Запишем результат в алгебраической форме, для этого вычислим значения соответствующих тригонометрических функций, будем в результате иметь:

Ответ. 

Деление комплексных чисел Деление комплексных чисел в алгебраической форме

Определение

Частным двух комплексных чисел   и   называется число  , которое задается соотношением:

На практике деление комплексных чисел проводят по следующей схеме:

1. сначала делимое и делитель умножают на число, комплексно сопряженное делителю, после чего делитель становится действительным числом;

2. в числителе умножают два комплексных числа;

3. полученную дробь почленно делят.

Пример

Задание. Найти частное 

Решение. Домножим и числитель, и знаменатель заданной дроби на число, комплексно сопряженное к знаменателю  , это будет  , тогда имеем:

Далее перемножаем комплексные числа как алгебраические двучлены, учитывая, что  :

Ответ. 

Деление комплексных чисел в геометрической форме

Если надо поделить комплексные числа   и   в геометрической форме:   , то искомое число

То есть модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент - разности аргументов делимого и делителя.

Пример

Задание. Найти частное  , если  , а 

Решение. Искомое частное

Ответ. 

Возведение комплексного числа в натуральную степень

Возводить в натуральную степень  , если она достаточно велика, комплексные числа проще всего втригонометрической форме, то есть если число   задано в алгебраической форме, то его изначально надо записать в тригонометрической.

Пусть число  , тогда умножая его само на себя   раз (что эквивалентно тому, что мы его возводим в степень  ), получим:

Таким образом, модуль степени комплексного числа равен той же степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания, умноженному на показатель степени.

Если  , то получаем, что

Данная формула называется формулой Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик).

Пример

Задание. Найти  , если 

Решение. Вначале запишем заданное комплексное число в тригонометрической форме, для этого вычислим его модуль и аргумент:

Тогда

А отсюда, согласно формуле, имеем:

Ответ. 

Извлечение корня из комплексного числа

Определение

Корнем  -ой степени из комплексного числа   называется такое комплексное число  ,  -я степень которого равна  , то есть

Корень  -ой степени из комплексного числа   обозначается символом   и на множестве комплексных чисел имеет ровно   значений.

Если комплексное число   задано в тригонометрической форме:  , то все значения корня  -ой степени вычисляются по формуле Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик):

Геометрически все значения корня лежат на окружности радиуса   с центром в начале координат и образуют правильный  -угольник.

Пример

Задание. Вычислить корень четвертой степени из 

Решение. Запишем заданное число в тригонометрической форме, для этого вычислим модуль и аргумент:

То есть

Тогда

Отсюда все значения корня:

Покажем, что все значения корня лежат на окружности радиуса   и образуют правильный четырехугольник, то есть квадрат (рис. 1):

Ответ.