ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по математическому анализу

1.Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Алгебраическая форма комплексного числа

Определение

Запись вида   называется алгебраической или координатной формой комплексного числа  .

При этом действительное число   называется действительной частью числа  :  , а действительное число   - его мнимой частью:   .

Величина   называется мнимой единицей и удовлетворяет равенству   .

Например. Для числа   действительная часть  , а мнимая -   .

Пример

Задание. Записать число   в алгебраической форме. Определить, чему равны мнимая и действительная части.

Решение. Почленно поделим дробь:

Тогда

Ответ. 

Операции с комплексными числами в алгебраической форме

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением комплексных чисел в алгебраической форме, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные (как операции над алгебраическими двучленами), при этом надо учесть, что   .

Пример

Задание. Найти сумму и произведение комплексных чисел   и   .

Решение. Чтобы найти сумму заданных комплексных чисел, складываем соответственно их действительные и мнимые части:

Произведение равно

Ответ. 

2.Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Модуль комплексного числа.

Число r — длина радиус-вектора точки M (x, y)является модулем комплексного числа z = x + iy. Обозначается как  .

 

 

Из рисунка получаем формулу для определения модуля числа, которое задано в алгебраической форме z = x + iy:

 

 

Видно, что   и   лишь для числа  .

При помощи правила вычитания записываем модуль числа z = z₁ – z₂, где z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy₂:

 

 

А это является формулой для расстояния между точками   и  .

Т.о., число   - это расстояние между точками z₁ и z₂ на комплексной плоскости.

 

Пример. Найдем модули комплексных чисел:

 

 

Рассчитаем решение для всех 3-х случаев:

1) z₁ и z₂ являются числами действительными, при этом  . Значит,  ;

2) числа   и   являются чисто мнимыми, при этом  . Значит,  , т.е.  , либо  ;

3) для числа   имеем  . Поэтому  .

 

Аргумент комплексного числа.

Полярный угол φ точки M (x, y) является аргументом комплексного числа z = x + iy. Обозначается как  .

 

 

Формулу для определения аргумента комплексного числа z = x + iy, который задан в алгебраической форме, получаем, пользуясь связью декартовых и полярных координат точки M (x, y).

 

Для точек, которые не лежат на мнимой оси, то есть для z, у которых  , получаем  ; для точек мнимой положительной полуоси, то есть для z, у которых  , получаем  ; для точек мнимой отрицательной полуоси, то есть для z, у которых  , получаем  .

 

Аргумент числа   является величиной неопределенной.

Определение аргумента при   сводится к решению тригонометрического уравнения  . При  , то есть когда   является числом действительным, у нас есть   при   и   при  .

 

При   решение уравнения зависимо от четверти плоскости  . Четверть, в которое расположена точка z, определяют по знакам   и  . В итоге имеем:

 

 

При решении примеров удобно пользоваться схемой:

 

 

Пример. Найти аргументы чисел:

 

.

 

Решим задачу для каждого из 3-х случаев:

1) числа   и   — действительные, причем  , поэтому  ;

2) числа   и   — чисто мнимые  , причем    , поэтому   ;

 

3) для числа   имеем  , поэтому из   находим  ; так как при этом  (точка   находится во второй четверти, то получаем   или  .

 

Пример. Найти модуль и аргумент числа  .

Находим  . Т.к.  , то есть точка расположена в 4 четверти, то из равенства   получаем  .