Системы линейных алгебраических уравнений: основные понятия, виды Определение слау
Определение
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:
Упорядоченный
набор значений 
называется решением
системы,
если при подстановке в уравнения все
уравнения превращаются в тождество.
Пример
Задание. Проверить,
является ли набор 
решением
системы 
Решение. Подставляем
в каждое из уравнений системы 
и 
:
Так как в результате подстановки получили верные равенства, то делаем вывод, что заданный набор является решением указанной СЛАУ.
Ответ. Набор является решением системы
Виды систем
Определение
СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение.
В противном случае система называется несовместной.
Пример
Система является совместной, так как она имеет, по крайней мере, одно решение ,
Пример
Система 
является
несовместной, так как выражения, стоящие
в левых частях уравнений системы равны,
но правые части не равны друг другу. Ни
для каких наборов 
это
не выполняется.
Определение
Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.
В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.
Определение
Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.
Пример
Определение
Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.
Пример
Система квадратная, так как неизвестных две и это число равно количеству уравнений системы.
Матричная запись систем уравнений
Исходную СЛАУ можно записать в матричном виде:
,
где
матрица 
называется матрицей
системы,
это матрица,
составленная из коэффициентов при
неизвестных; 
- вектором-столбцом
неизвестных, 
- вектором-столбцом
правых частей или свободных
коэффициентов.
Пример
Задание. Систему 
записать
в матричной форме и выписать все матрицы,
которые ей соответствуют.
Решение. Заданную СЛАУ записываем в матричной форме , где матрица системы:
вектор-столбец неизвестных:
вектор-столбец свободных коэффициентов:
то есть, запись СЛАУ в матричной форме:
Расширенная матрица системы
Определение
Расширенной
матрицей системы 
называется
матрица, полученная из матрицы системы
,
дописыванием справа после вертикальной
черты столбца свободных членов.
Пример
Задание. Записать
матрицу и расширенную матрицу системы 
Решение. Матрица
системы 
,
тогда расширенная матрица 
Метод Гаусса. Метод последовательного исключения неизвестных Историческая справка
Метод Гаусса был предложен известнейшим немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 - 1855) и является одним из наиболее универсальных методов решения СЛАУ. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении задачи, расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над ее строками приводится к ступенчатому виду. Далее последовательно находятся все неизвестные, начиная снизу вверх.
Принцип метода Гаусса
Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных.
Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными (чего не скажешь про метод Крамера и матричный метод). То есть метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.