Облегченный способ для матрицы второго порядка

Для матрицы второго порядка можно немного облегчить нахождение обратной, используя следующий алгоритм:

Шаг 1. Находим определитель   заданной матрицы, если он равен нулю, то делаем вывод, что обратной матрицы не существует, иначе переходим к следующему шагу.

Шаг 2. Элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный.

Шаг 3. Делим все элементы на   и получаем обратную матрицу.

Метод элементарных преобразований вычисления обратной матрицы.

 Предположим, что матрица  A  - неособенная и рассмотрим метод нахождения обратной матрицы, основанный на элементарных операциях над строками.        В данном контексте под элементарными преобразованиями понимается:

1.   Умножение строки на любое ненулевое число.

2.   Прибавление к одной строке любой другой, предварительно умноженной на любое число.

      Алгоритм метода чрезвычайно прост по своей сути.

      Сначала составляется расширенная матрица – присоединением к матрице A единичной матрицы  E:

      Затем с помощью элементарных операций над строками расширенная матрица (A | E) преобразуется к виду (E | B).        С формальной точки зрения такие преобразования могут быть реализованы умножением на матрицу A некоторой матрицы T, которая представляет собой произведение соответствующих элементарных матриц (матрицы перестановки, матрицы масштабирования, неунитарной матрицы):

TA = E.

      Это уравнение означает, что матрица преобразования T представляет собой обратную матрицу для матрицы A:

 T = A^-1.

      Тогда  TE =  A^-1  и, следовательно,

1.5. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы. Теоремы о ранге матрицы.

Ранг системы строк и столбцов матрицы

Определение

Рангом системы строк называется максимальное количество линейно независимых строк этой системы.

В каждой матрице можно связать два ранга: строчный ранг (ранг системы строк) и столбцовый ранг (ранг системы столбцов).

Теорема

Строчный ранг матрицы равен её столбцовому рангу.

Ранг матрицы

Определение

Рангом матрицы   называется ранг её системы строк или столбцов.

Обозначается 

На практике для нахождения ранга матрицы используют следующее утверждение: ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду.

Элементарные преобразования над строками (столбцами) матрицы не меняют её ранга.

Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.

Пример

Задание. Найти ранг матрицы 

Решение. С помощью элементарных преобразований над ее строками приведем матрицу   к ступенчатому виду. Для этого вначале от третьей строки отнимем две вторых:

От второй строки отнимаем четвертую строку, умноженную на 4; от третьей - две четвертых:

Ко второй строке прибавим пять первых, к третьей - три третьих:

Меняем местами первую и вторую строчки:

Далее четвертую и первую строки:

Ответ. 

Метод окаймления миноров

Теорема

Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минору.

На этой теореме базируется еще один метод нахождения ранга матрицы - метод окаймления миноров. Суть этого метода заключается в нахождении миноров, начиная с низших порядков и двигаясь к более высоким. Если минор  -го порядка не равен нулю, а все миноры  -го равны нулю, то ранг матрицы будет равен   .

Пример

Задание. Найти ранг матрицы   , используя метод окаймления миноров.

Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам матрицы   . Рассмотрим, например, минор   . расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляем его с помощью второй строки и второго столбца, получаем минор   ; рассмотрим еще один минор второго порядка, для этого минор  окаймляем при помощи второй строки и третьего столбца, тогда имеем минор   , то есть ранг матрицы не меньше двух. Далее рассматриваем миноры третьего порядка, которые окаймляют минор   . Таких миноров два: комбинация третьей строки со вторым столбцом или с четвертым столбцом. Вычисляем эти миноры:

так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор

преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:

И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю. А, значит, ранг матрицы  равен двум: 

Ответ.