Операции над матрицами
Некоторые операции над матрицами, такие как сложение и вычитание, допускаются только для матриц одинакового размера.
Равные матрицы
Определение
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:
Пример
.
Эти матрицы равны, т.к. равны их
размеры: 
и 
,
а также соответствующие элементы: 
; 
Пример
Задание. Пусть
задана матрица 
.
Найти все элементы матрицы
,
если известно, что она равна матрице 
Решение. Так
как матрицы
и 
равны,
то равны и их соответствующие элементы,
т.е.
Ответ.
Произведение матрицы на число
Определение
Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.
Пример
Задание. Пусть 
.
Найти матрицу 
.
Решение. 
Ответ. 
Подробная теория про умножение марицы на число по ссылке.
Сумма матриц
Определение
Суммой
матриц
и
одного
размера называется матрица 
такого
же размера, получаемая из исходных путем
сложения соответствующих элементов.
Пример
Задание. Найти 
,
если 
, 
Решение. 
Ответ. 
Операции умножение матрицы на число и сумма матриц называются линейными.
Свойства линейных операций:
Везде
далее матрицы
,
и 
-
матрицы одного размера.
Ассоциативность
,
где
- нулевая
матрица соответствующего
размера.
Коммутативность
Дистрибутивность
Произведение двух матриц
Определение
Произведением матрицы 
на
матрицу 
называется
матрица 
такая,
что элемент матрицы
,
стоящий в
-ой
строке и 
-ом
столбце, т.е. элемент 
,
равен сумме произведений элементов
-ой
строки матрицы
на
соответствующие элементы
-ого
столбца матрицы
.
Пример
Задание. Найти 
,
если 
Решение. Так
как 
,
а 
,
то в результате получим матрицу размера 
,
т.е. матрицу вида 
.
Найдем элементы данной матрицы:
Таким образом, получаем, что:
Все вычисления можно было сделать в более компактном виде:
Ответ.
Свойства произведения матриц:
Ассоциативность
Ассоциативность по умножению
Дистрибутивность
, 
Умножение на единичную матрицу
В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е.
Транспонирование матриц
Определение
Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.
Пример
Задание. Найти
транспонированную матрицу 
,
если 
Решение. 
Свойства транспонирования матриц:
Умножение матрицы на число
Определение
Произведением
матрицы
на
ненулевое число 
называется
матрица 
того
же порядка, полученная из исходной
умножением на заданное число всех
ее элементов:
Итак, в результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.
Мы
получим одинаковый результат, умножая
число на матрицу, или матрицу на число,
то есть 
.
Из определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
Данная операция, вместе с операцией сложения матриц, относится к линейным операциям над матрицами.
Пример
Задание. Чему
равна матрица 
,
если матрица 
?
Решение. 
Ответ. 
Свойства умножения матрицы на число:
Сложение и вычитание матриц
Сложение и вычитание матриц, допускаются только для матриц одинакового размера.
Сумма матриц
Определение
Суммой матриц и одного размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов:
Замечание
Складывать можно только матрицы одинакового размера.
Пример
Задание. Найти
,
если 
Решение. 
Ответ. 
Свойства сложения и вычитания матриц:
Ассоциативность
, где - нулевая матрица соответствующего размера.
Коммутативность
Разность матриц
Разность двух матриц одинакового размера можно определить через операцию сложения матриц и через умножение матрицы на число.
Вычитание
матриц вводится следующим образом: 
То есть к матрице прибавляется матрица , умноженная на (-1).
Определение
Разностью
матриц
и
одного
и того же размера называется матрица 
такого
же размера, получаемая из исходных путем
прибавления к матрице
матрицы
,
умноженной на (-1).
На практике же от элементов матрицы попросту отнимают соответствующие элементы матрицы при условии, что заданные матрицы одного размера.
Умножение матриц
Определение
Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .
Замечание
Умножать матрицы можно тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.
Свойства произведения матриц:
Ассоциативность
Ассоциативность по умножению
Дистрибутивность ,
Умножение на единичную матрицу
В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е.
1.4. Обратная матрица и ее вычисление методом Крамера ( методом присоединенной матрицы). Метод элементарных преобразований вычисления обратной матрицы.
Нахождение обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы
Теорема
Если к квадратной матрице дописать справа единичную матрицу того же порядка и с помощьюэлементарных преобразований над строками добиться того, чтобы начальная матрица, стоящая в левой части, стала единичной, то полученная справа будет обратной к исходной.
Пример
Задание. Для
матрицы 
найти
обратную методом присоединенной матрицы.
Решение. Приписываем к заданной матрице справа единичную матрицу второго порядка:
От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):
От второй строки отнимаем две первых:
Первую и вторую строки меняем местами:
От второй строки отнимаем две первых:
Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:
Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.
Таким
образом, получаем, что 
Ответ.
Замечание
Если на некотором этапе в "левой" матрице получается нулевая строка, то это означает, что исходная матрица обратной не имеет.