1. Интерполяция, интерполирование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному (независимому, табличному, свободному) набору известных значений.

Рассмотрим систему несовпадающих точек из некоторой области D. Пусть значения функции f(x) известны только в этих точках: .

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции F(x) из заданного класса функций, что

Точки x_i называют узлами интерполяции, а их совокупность - интерполяционной сеткой.

Пары (x_i;y_i) называют точками данных или базовыми точками.

Разность между «соседними» значениями - шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.

Функцию F(x) - интерполирующей функцией.

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.

2. Параболическая интерполяция.

Если интерполирующая функция - многочлен второго порядка , то интерполяция называется квадратичной. Иногда ее называют параболической на отрезке [x_i-1, x_i+1], так как квадратный трехчлен - это парабола , где - неизвестные. Для их определения необходимо условие прохождения параболы через три точки: .

Графическая иллюстрация метода представлена на рис.1

Эти условия запишем в виде:

Решив систему, получим значения , а, следовательно, и уравнение параболы на участке [x_i-1, x_i+1]. Уравнения парабол на разных отрезках [x_i-1, x_i+1] разные.. Квадратичная интерполяция является локальной интерполяцией.

3. Интерполяционная формула Лагранжа.

Примером глобальной интерполяции является построение интерполяционного многочлена, единого для всего отрезка[x₀,x_n], график которого проходит через все заданные в таблице точки. Это многочлен Лагранжа. Его уравнение имеет вид:

или

Где х - значение аргумента функции, расположенного в интервале [x₀,x_n].

Необходимо отметить, что формула Лагранжа, в отличие от других интерполяционных формул, содержит явно y_i (i = ), что бывает иногда важно.

4. Интерполяционная схема Ейткина.

Наиболее известным из итерационных методов является метод Эйткена, в основе которого лежит многократное применение линейной интерполяции.

Схема Эйткена предлагает более удобную форму вычисления по формуле Лагранжа.

На первом этапе вычисляются многочлены ,построенные на каждой паре соседних узлов:

,

Затем на их основе вычисляются многочлены, построенные на тройках соседних узлов:

,

и т.д., пока не получится один многочлен, построенный на всех узлах интерполяции:

Нетрудно убедиться, что .

5.Виды систем координат.

1. Декартовы прямоугольные системы координат

Декартовыми прямоугольными координатами точки P на плоскости называются взятые с определенным знаком расстояния этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых - осей координат или проекции радиус-вектора точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.

Координаты x и y называются соответственно абсциссой и ординатой точки

2. Полярные системы координат

Полярными координатами точки P называются радиус-вектор ρ - расстояние от точки P до заданной точки O (полюса) и полярный угол φ - угол между прямой OP и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью).

Координатные линии в полярных системах - окружности с центром в полюсе и лучи.

Формулы для перехода от полярных координат к декартовым

x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ)

3. Цилиндрические системы координат

Для цилиндрических координат координатными поверхностями являются плоскости, перпендикулярные к оси Oz (z=const), полуплоскости, ограниченные осью z (φ=const) и цилиндрические поверхности, осью которых является ось z (ρ=const). ρ и φ - полярные координаты проекции точки P на основную плоскость (обычно xOy), z - аппликата - расстояние от точки P до основной плоскости.

Формулы для перехода от цилиндрических координат к декартовым x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ), z=z