Основы наноелектроники / Основы наноэлектроники / ИДЗ / Книги и монографии / Наноматериалы, методы, идеи. Сборник научных статей, 2007, c.206

образуется решетка доменов. При увеличении модуля функции

Якоби k , для решения (13), как увеличивается величина области (период солитонной решетки) так и уменьшается размер переходного слоя (доменной стенки) между областями. С физической точки зрения подобное поведение можно объяснить тем для существования устойчивого решения нелинейного уравнения необходим баланс процесса дисперсии и нелинейного роста (затухания) амплитуды [16]. Так, в частности, увеличение амплитуды вследствие нелинейного роста приводит к изменению периода колебаний (т.е. приводит к динамическому сдвигу частоты общему для всех нелинейных систем, а значит, для волн меняется и длина волны), математически описываемому зависимостью от

k . В свою очередь изменение частоты (длины волны) влечет за собой изменение дисперсии, что в общем случае отсутствия баланса приводит к изменению формы решетки. В свою очередь, для функции Якоби sn нелинейность характеризуется отклонением

параметра k от единицы.

4. Модели примесей. Вероятность перехода под действием электромагнитной волны.

В качестве моделей примесей рассмотрим примеси двух типов: симметричные и асимметричные. В дальнейшем мы будем полагать, что электрическое поле электромагнитной волны направлено вдоль оси х совпадающей с осью нанотрубки. Выбрав точку нахождения примеси за начало координат по оси х, будем подразумевать, что электрон, локализованный на примеси, находится в поле некоего потенциала задаваемого примесью, и в зависимости от вида это потенциала (симметричен ли он относительно начала координат) будем и характеризовать примесь. Отметим, что поскольку очевидно, что электрон будет находиться до прихода электромагнитной волны в низшем энергетическом состоянии, у волновой функции электрона нет зависимости от угла вдоль окружности нанотрубки. Т.е., очевидно, что наиболее вероятен процесс перехода электрона с примеси в состояние, описываемое решением (13), которое соответствует модам однородно возбужденным по окружности нанотрубки и задается уравнениями (11). Таким образом, в качестве моделей примесей

61

будут рассматриваться примеси, на которых электрон будет находиться в состоянии, описываемом волновой функцией:

в случае, когда потенциал примеси симметричен относительно начала координат, и:

в случае несимметричного потенциала. Отметим, что в случаях (14б) и (15б) моделируется более короткодействующий потенциал. Возникновение слагаемого, пропорционального b в случаях (15а,15б) мы связываем с действием подложки, на которой была выражена углеродная нанотрубка. Поле подложки создает дополнительное поле, которое и приводит к появлению асимметричной части в волновой функции примеси.

Запишем выражение для вероятности перехода, т.е. вероятности рождения солитонной рождения вследствие перехода электрона с примеси под действием электромагнитной волны:

62

интеграла по пространственной переменной (зависимость от Е указана в (17) явно). Вычисляя этот интеграл, можно заметить, что в силу четности выражения для волновой функции солитонной решетки и выражения для электрического поля электромагнитной волны этот интеграл равен в точности нулю для случая симметричной примеси. В случае же несимметричной примеси вероятность рождения солитонной решетки определяется несимметричной частью. Так, в этом случае, в задаче возникают три характерных масштаба: характерное расстояние, на котором локализована волновая функция электрона на примеси а, длина электромагнитной волны 2 /k1 и период солитонной решетки D, определяемый периодом sn-функции Якоби в (13). Учитывая, что интегрирование ведется в бесконечных пределах, интеграл по пространственным переменным будет зависеть только от двух параметров, за которые можно взять отношение длины электромагнитной волны к расстоянию, на котором локализована волновая функция электрона примеси (далее будет обозначаться как F) и отношение периода солитонной решетки к расстоянию, на котором локализована волновая функция электрона примеси (далее будет обозначаться как G). Заметим, что период солитонной решетки, в свою очередь, будет задаваться параметром k, который ответственен и за отклонение формы решетки от синусоидальной. Результаты численных расчетов показали, что выражение для S зависит от параметров F и G так как приведено на рис. 1. В случае

63

же более короткодействующего потенциала, результаты качественно не меняются, но выход на плато происходит при меньших значениях параметров F и G.

а) б)

Рис. 1 Зависимость интеграла по пространственным переменным S от отношения длины электромагнитной волны к расстоянию, на котором локализована волновая функция электрона примеси F и отношения периода солитонной решетки к расстоянию, на котором локализована волновая функция электрона примеси G. Параметр нелинейности кноидальной волны k=0.1 для случая а), k=0.9 для случая б).

Из полученных результатов видно, что при значительном превышении характерных пространственных размеров электромагнитной волны и солитонной решетки над размером области локализации примесного электрона, т.е. F,G 10, нет жесткого соотношения между величинами F и G и возможна генерация солитонной решетки с достаточно произвольным пространственным периодом. Наиболее ярко это отражено на рис. 1 а). Отметим, что данный случай соответствует случаю, когда k мало и форма солитонной решетки будет слабо отличаться от синусоидальной. При незначительном превышении характерных пространственных размеров электромагнитной волны и солитонной решетки над размером области локализации примесного электрона, т.е. F,G 1, видно, что наиболее вероятно

64

будут генерироваться солитонные решетки с пространственным периодом, совпадающим с длиной электромагнитной волны. Это наиболее просто заметить из рис. 1 б), в котором максимум поверхности лежит на прямой F=G. На первый взгляд, этого достаточно трудно достичь, вследствие того, что длина волны и частота электромагнитной волны жестко связаны. На самом деле, можно достичь выполнения этого условия, в силу того, что это условие задает параметр нелинейности к, что видно из (13). Так при k 1 пространственный период солитонной решетки может быть сколько угодно велик.

Также как видно из рис. 1 б) в случае же больших k возможна генерация солитонных решеток, у которых пространственных период в 3 раза больше периода электромагнитной волны. Отметим, что эта вероятность возрастает при росте параметров F и G. Такое поведение связано с тем, что при больших k решение (13) содержит много высших гармоник, которые и дают эффективное увеличение вероятности. Отметим, что в дальнейшем при росте параметров F и G становится вероятным и рождение солитонной решетки с пространственным периодом несоизмеримым с периодом электромагнитной волны. Сравнивая рис.1 а) и рис. 1 б) отметим, что более вероятно рождение кноидальной волны с большим параметром k.

Таким образом, из приведенного рассмотрения можно сделать вывод о возможности генерации солитонных решеток посредством ионизации несимметричных примесей мощным лазерным излучением. Также сформулируем в заключении основные выводы из данной работы:

1.Получен эффективный гамильтониан, описывающий электронные свойства углеродных нанотрубок в длинноволновом приближении.

2.Получены уравнения и произведены методом Буш мод редукции уравнений для одноэлектронной волновой функции электрона в углеродных нанотрубках. Получившаяся система уравнений имеет вид связанных нелинейных уравнений Шредингера.

65

3.Генерация солитонных решеток происходит только с примесей, для которых волновая функция электрона локализованного на них несимметрична.

4.При значительном превышении характерных пространственных размеров электромагнитной волны и солитонной решетки над размером области локализации примесного электрона возможна генерация солитонной решетки с достаточно произвольным пространственным периодом.

5.При незначительном превышении характерных пространственных размеров электромагнитной волны и солитонной решетки над размером области локализации примесного электрона наиболее вероятно будут генерироваться солитонные решетки с пространственным периодом близким к длине электромагнитной волны.

6.Литература

1.Dresselhaus M.S., Dresselhaus G., Eklund P.C.. Science of Fullerenes and Carbon Nanotubes. – Academic Press, Inc. – 1996. – 965 P.

2.Ивановский А.Л.. Квантовая химия в материаловедении. Нанотубулярные формы вещества. – Екатеринбург:

УрОРАН. – 1999. – 176 С.

3.Харрис П. Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы XXI века. – Москва:

Техносфера. – 2003. – 336 С.

4.Лозовик Ю.Е., Попов А.М. УФН 165, 752 (1997).

5.Елецкий А.В. УФН 170, 113 (2000).

6.Елецкий А.В. УФН 172, 401 (2002).

7.Vinogradov G.A., Astakhova T.Yu., Gurin O.D., Ovchinnikov A.A. // Abstracts of invited lectures and contributed papers “Fullerenes and Atomic Clusters”, St.Peterburg, Russia, 4–8 October 1999, p. 189.

8.Astakhova T.Yu., Gurin O.D., Vinogradov G.A. // Abstracts of invited lectures and contributed papers “Fullerenes and Atomic Clusters”, St.Peterburg, Russia, 2–6 July 2001, p. 319.

66

9.Astakhova T.Yu., Gurin O.D., Menon M., Vinogradov G.A. // Phys. Rev. B 64, 035418 (2001).

10.Belonenko M. B., Demushkina E.V., Lebedev N. G. Soliton lattices of Habbard’s electrons in carbon nanotubes. // Symposium and Summer School “Nano and Giga Challenges in Microelectronics. Research and Development Opportunities”, Cracow, Poland, 2004, p. 152.

11.Изюмов Ю.А., Кацнельсон М.И., Скрябин Ю.Н. Магнетизм коллективизированных электронов.— М.: Физматлит, 1994.—368 с.

12.Fedyanin V.K., Machankov V.G. Nonlinear effects in quasi– one–dimensional models of condensed matter theory// Phys. Rep., 1984, v. 54, p.1 – 68.

13.Slepyan G.Ya., Maksimenko S.A., Kalosha V.P. et al. // Phys. Rev. A. 1999. V. 60. №2. P. R777.

14.Сахненко В. П., Чечин Г. М. Bushes of normal modes — new dynamical objects in nonlinear mechanical systems with discrete symmetry// ДАН, т. 330, 1993 г., с. 308.

15.Сахненко В. П., Чечин Г.М. New approach to nonlinear dynamics of fullerenes and fullerites// ДАН, т. 330, 1993 г., с. 42.

16.Belonenko M. B., Demushkina E.V., Lebedev N. G. Electromagnetic soliton in carbone nanotubes// Journal of Russian Laser Research, Volume 27, Number 5, 2006,

67

ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ПРОВОДИМОСТЬ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК

Г.С. Иванченко, Н.Г. Лебедев Волгоградский государственный университет, 400062 Волгоград, Россия

E-mail: genaivanchenko@yandex.ru, nikolay.lebedev@volsu.ru Представлены результаты теоретического исследования

проводимости однослойных углеродных нанотрубок с учетом электрон-фононного взаимодействия в длинноволновом приближении. В рамках модели Хаббарда применением метода функций Грина получена температурная зависимость продольной проводимости ряда однослойных нанотрубок. Показано, что учет взаимодействия электронов с фононным полем дает поправку к проводимости третьего порядка малости.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 07-03-96604).

PACS: 61.46.Fg, 73.63.Fg

Введение

Как было теоретически предсказано более десяти лет назад, а затем и экспериментально подтверждено, углеродные нанотрубки (УНТ) [1] обладают уникальными проводящими свойствами. Однослойные УНТ (ОУНТ) принято классифицировать с помощью двух индексов хиральности (n, m), которые полностью определяют структуру нанотрубки [1]. На основе анализа зонной структуры в рамках метода Хюккеля [2] оказалось, что если разность индексов хиральности кратна 3, то такие трубки проявляют металлические проводящие свойства, в противном случае – полупроводниковые. Экспериментальные исследования ОУНТ различного диаметра показали, что проводимость прямолинейного участка нанотрубки, не испытывающей внешней нагрузки, составляет 100 мкСм. Эта величина сопоставима по порядку величины с квантом проводимости 4e2/h = 154 мкСм. Подобный результат был предсказан еще на заре исследований проводящих свойств УНТ [1], но теоретические исследования в этой области по-прежнему продолжаются (например, [3, 4]). Это связано, прежде всего, с необходимостью выяснения механизма проводимости УНТ.

68

Исследования проводимости однослойных и двухслойных УНТ в рамках модели Хаббарда [5] и их фононного спектра в одноэлектронном [2] и квазиодномерном приближении проведены в работах [6, 7]. Исследована температурная зависимость проводимости углеродных нанотрубок. Предсказано изменение характера проводимости двухслойных углеродных нанотрубок в области низких температур – эффект насыщения проводимости и образование плато. Можно сказать, что фактически предсказан фазовый переход типа «металл-диэлектрик» при соединении двух проводящих однослойных нанотрубок в одну двухслойную.

В данной работе на основе проведенных ранее исследованиях проводимости и фононного спектра углеродных нанотрубок изучено влияние электрон-фононного взаимодействия на их проводящие свойства.

Модель Хаббарда с учетом электрон-фононного взаимодействия.

Для моделирования электронной структуры однослойной нанотрубки использована модель Хюккеля-Хаббарда в - электронном приближении в рамках метода вторичного квантования, которая учитывает энергию перескока электрона с одного узла кристаллической решетки на соседний, а также кулоновское отталкивание двух электронов с разными спинами, находящихся на одном узле решетки [5]. При этом соседние атомы кристаллической решетки изначально считаются идентичными. Модель соответствует представлению об электронах в проводниках как о Ферми-жидкости.

Запишем Гамильтониан модели Хаббарда с учетом

- энергия электронной подсистемы;

69

энергия электрон-фононного взаимодействия,

смещения относительно положения равновесия.

Для учета электрон-фононного взаимодействия в операторе Гамильтона проведено разложение прыжкового интеграла в ряд по смещению атомов из положения равновесия до второго члена.

Операторы векторов поляризации и плотности тока с учетом гамильтониана (1) имеют вид:

Применяя метод функций Грина [8, 9] для нахождения тензора проводимости по формуле Кубо [10]:

70