Основы наноелектроники / Основы наноэлектроники / ИДЗ / Книги и монографии / Наноматериалы, методы, идеи. Сборник научных статей, 2007, c.206

Заметим, что никаких особенностей эволюции электромагнитного импульса в зависимости от того, с какой групповой скоростью он начинал свое движение в системе нанотрубок, не наблюдалось. На наш взгляд, это связано с независимостью системы уравнений на функцию распределения электронов от скорости в явном виде и с Лоренц-инвариантностью уравнений Максвелла.

При варьировании начальных условий, т.е. при изменении формы цуга электромагнитных импульсов входящих в систему УНТ, наблюдалась эволюция начальных состояний подобно приведенной на рис. 6. Отметим явную аналогию получившихся осциллирующих состояний с бризерными решениями уравнения sine-Gordon. Особенно сильно характер эволюции зависел, как показали результаты численных расчетов, от времени релаксации функции распределения электронов к равновесному значению.

Заключение

Из проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

1.Получена система уравнений, описывающая динамику одиночного ультракороткого лазерного импульса и их периодической последовательности в пучках углеродных нанотрубок, и описаны основные приближения.

2.Получено эффективное уравнение для динамики электрического поля в пучке углеродных нанотрубок, которое имеет вид аналогичный двойному уравнению sine-Gordon. Оценены вклады высших гармоник, которые вносят возмущение в эффективное двойное уравнение sine-Gordon.

3.Суммарный ток, индуцируемый в нанотрубках, определяется временем релаксации функции распределения электронов к равновесному значению.

4.Периодический цуг электромагнитных импульсов при прохождении системы углеродных нанотрубок проходит в ходе своей эволюции стадии аналогичные поведению бризеров уравнения sine-Gordon.

5.Импульсы тока генерируются с запаздыванием по отношению к инициирующим импульсам электромагнитного поля, что связано с описанием динамики электронов в рамках классического кинетического уравнения Больцмана в приближении времени релаксации.

41

6. В ходе распространения периодической электромагнитной волны возникают области с различным значением амплитуды тока в них, которые могут быть интерпретированы как домены тока.

Литература

1.Ч. Пул, Ф. Оуэнс, Нанотехнологии, Москва: Техносфера, 2004.

2.П. Харрис, Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы XXI века, Москва: Техносфера, 2003.

3.S.A. Maksimenko, G.Ya. Slepyan, Nanoelectromagnetics of lowdimensional structure. / In “Handbook of nanotechnology. Nanometer structure: theory, modeling, and simulation”, Ed. by A. Lakhtakia, Bellingham: SPIE press, 2004. P. 145 – 206.

4.Ю.С. Кившарь, Г.П. Агравал, Оптические солитоны. От волоконных световодов до фотонных кристаллов, Москва: Физматлит, 2005.

5.Х. Гиббс, Оптическая бистабильность. Управление светом с помощью света, М.: Мир, 1988.

6.G.Ya. Slepyan, S.A. Maksimenko, V.P. Kalosha et al, Phys. Rev. A. 60, R777 (1999).

7.Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред, М.: Наука. Физматлит, 1992.

8.Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. Т. X. Физическая кинетика, М.: Наука. Физматлит, 1979.

9.S.J. Tans, M.H. Devoret, H. Dai et al, Nature 386, 474 (1997).

10.С.В. Крючков, Полупроводниковые сверхрешетки в сильных полях, Волгоград: Перемена, ВГПУ, 1992.

11.Ф.Г. Басс, А.А. Булгаков, А.П. Тетервов, Высокочастотные свойства полупроводников со сверхрешетками, М.: Наука, 1989.

12.Э.М. Эпштейн, ФТТ 19, 3456 (1977).

13.Солитоны, Под ред. Р. Буллаф, Ф. Кодри, Москва: Мир, 1983.

14.P.W. Kitchenside, P.J. Caudrey, R.K. Bullough, Phys. Scr. 20, 673, (1979).

15.В.Е. Захаров и др., Теория солитонов, М.: Наука, 1980.

16.Н.С. Бахвалов, Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Москва: Наука, 1975.

17.К.А. Горшков, Л.А. Островский, В.В. Папко, ЖЭТФ 71, 585 (1976).

42

ОБ АНТИФЕРРОМАГНИТНЫХ СОЛИТОНАХ В УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБКАХ

М.Б. Белоненко*), Е.В. Демушкина, Н.Г. Лебедев Волгоградский государственный университет, пр-т Университетский, 100, г. Волгоград, 400062, Россия, E-mail: nikolay.lebedev@volsu.ru,

*) Лаборатория Нанотехнологий ВПО НОУ ВИБ, ул. Южно-Украинская, 2, г. Волгоград, 400064, Россия

В рамках модели Хаббарда и подхода Андерсона в теории косвенного взаимодействия предложен эффективный гамильтониан углеродных нанотрубок, описывающий в длинноволновом приближении взаимодействие спиновых степеней свободы и имеющий вид гамильтониана нелинейной сигма-модели. Получены солитонные решения уравнений движения, которые описывают неелевские доменные стенки, разделяющие в углеродных нанотрубках области с различной намагниченностью.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 07-03-96604).

Введение

Исследования нанотубулярных форм углерода [1] обуславливает неограниченные возможности применения углеродных нанотрубок (УНТ), например, в микроэлектронике [2, 3]. Особенный интерес, как и следовало ожидать, вызывают нелинейные свойства нанотрубок, как акустической, так и электромагнитной природы. В частности, нелинейные свойства углеродных нанотрубок, связанные с негармоничностью потенциала взаимодействия между соседними атомами углерода, исследовались в работах [4, 5] при помощи редукции к уравнению Кортевега-де-Фриза.

Большие изменения электронных и магнитных свойств УНТ ожидаются при допировании или интеркалировании углеродных нанотрубок различными атомами. В последнее время большое внимание исследователей сосредоточено на расчетах изменений электронных, магнитных, проводящих и других свойств нанотрубок, вызванных внедрением одиночного атома примеси [1]. В работе [6] методом Фрелиха проведено исследование эффектов,

43

связанных с взаимодействием d- или f-примесей с электронами нанотрубок. Показано, что температурная зависимость константы эффективного обмена демонстрирует возможность антиферромагнитного упорядочения спинов примесных атомов углеродных нанотрубок. Проведенное рассмотрение дает, в частности, возможность последовательного микроскопического построения теории магнитных свойств нанотрубок и их композитов. Таким образом, возникающее косвенное обменное взаимодействие между примесными спинами способно оказать весьма неожиданное влияние на магнитные свойства нанотрубок и стимулирует дальнейшее изучение этой новой отрасли физики низкоразмерных структур.

В рамках модели Хаббарда в приближении Хюккеля исследованы одночастичные состояния электронов углеродных нанотрубок при учете их подвижности, кулоновского отталкивания на одном узле решетки и электрон-фононного взаимодействия [7 - 11]. Построены одноэлектронные волновые функции, имеющие вид солитонных решеток.

В данной работе предполагается сосредоточить внимание на нелинейных свойствах нанотрубок вызванных сильным взаимодействием электронов, описываемых гамильтонианом Хаббарда и приводящих к эффектам магнитного упорядочения. Интерес к модели Хаббарда так же обусловлен и тем, что в ее рамках проходит большая часть исследований по проблеме магнетизма коллективизированных электронов [12, 13]. Также модель Хаббарда интересна и тем, что в одномерном случае она допускает точное решение [14].

Модель и основные уравнения

В качестве модели УНТ рассматривалась идеальная трубка «zigzag» типа, структура которой характеризуется хиральными индексами (m, 0) [1]. Состояния электронов УНТ, локализованных на атомах углерода, описываются в π-электронном приближении с помощью расширенной модели Хаббарда, учитывающей энергию перескока частиц между соседними атомами углерода и сильное кулоновское отталкивание на одном узле. Гамильтониан описанной модели Хаббарда имеет традиционный вид [12]:

44

H t(aj aj a j aj )

j-м узле (j={i, k}) со спином σ, t – интеграл перескока; – вектора, связывающие соседние атомы углерода; U – энергия кулоновского отталкивания электронов на одном узле; μ – химический потенциал. Индексы i и k нумеруют атомы углерода в нанотрубке согласно обозначениям на рисунке 1.

Для оценок в расчетах были выбраны следующие значения параметров гамильтониана, оцененные при помощи квантовохимического полуэмпирического метода MNDO [15]: t = 2 эВ, U = 10 эВ, длина С-С связи a = 1.42 Å. Химический потенциал в дальнейшем, без ограничения общности можно положить равным нулю. Как показал Андерсон [16], эффективный гамильтониан, который описывает возбуждения над основным состоянием

гамильтониана (1) с энергией E0, при условии, что величина tU

мала, будет иметь вид:

где спиновые операторы связаны с операторами рождения и уничтожения:

момент электронов, находящихся на j-м узле решетки.

45

спиновых переменных Sj . А именно, учитывая, что в

гексагональной решетке образующей нанотрубку существуют два неэквивалентных положения (со связями, направленными вверх и вниз), разобьем решетку на две подрешетки, так что компоненты вектора спина одной подрешетки связаны лишь с компонентами вектора спина другой.

Переменные для классических спинов находящихся в узлах

где k = (kx, ky) – волновой вектор. Если рассматривать для определенности нанотрубки «zig-zag» типа, или в обще принятых обозначениях (m, 0), то из требования периодичности граничных условий вдоль окружности нанотрубки получаем ky = s, s = 1, 2,…, m.

Второе слагаемое в действии (3) примет вид:

(k) (p,s) cos(pa) 2cos(pa/2)cos( s/m)

где явно указано, что k = (p, s); a - длина С-С связи.

Для получения эффективного гамильтониана устремим шаг решетки a к нулю, перейдем к длинноволновому пределу, когда рассматриваются возбуждения с длиной волны много большей постоянной решетки a. В гамильтониане (6) производится суммирование не по всем k, а лишь по малым к, таким что можно ограничится в разложении (p,s) членами второго порядка по р и

47

считать s = 0, pa 1. В этом случае получаем вид второго слагаемого в действии (3):

(p) 3m(1 (pa)2 /4)

Полученный гамильтониан в действии (3) можно сравнить с аналогичным гамильтонианом, полученным для одномерной антиферромагнитной модели Гейзенберга

Hheisenberg J SjSj 1 ,

j

после выполнения аналогичных преобразований и перехода к длинноволновому приближению [18]:

S Skin d Hheisenberg ( ),

(p) (1 (pa)2 /2)

Сравнивая выражения (7) и (8) легко заметить, что эффективное действие для гамильтониана (2), описывающего свойства углеродных нанотрубок, связанные с магнитным упорядочением, эквивалентно действию для одномерной антиферромагнитной модели Гейзенберга, при условии, что

постоянная решетки в углеродной нанотрубке меньше в 2 раз

постоянной решетки в модели Гейзенберга и J 12mt2 /U . Заметим, что для одномерной антиферромагнитной модели

Гейзенберга при замене [19, 20]:

Sn ( 1)n /2(sin n cos n,sin n sin n,cos n),

48

функциями координат; a – постоянная решетки гейзенберговского магнетика; (x) и (x) – описывают малые

флуктуации. После перехода к континуальному пределу для

величины (sin cos ,sin sin ,cos ) с

выражение для плотности лагранжиана имеет вид:

L 1 t t c2 x x ,

8c

где нижние индексы у обозначают соответствующую частную производную, c aJ .

Лагранжиан с плотностью (9) описывает Лоренцинвариантную нелинейную сигма-модель, для которой известны решения солитонного типа. Отметим, что в качестве скорости света в представленной модели выступает величина

c 6 2mt2a . Уравнения движения с лагранжианом (9):

U

Окончательно, в длинноволновом приближении спиновые возбуждения в углеродных нанотрубках можно описать при помощи нелинейной сигма-модели с плотностью лагранжиана (9).

Солитоный газ в углеродных нанотрубках

Классические солитонные решения для одномерной нелинейной сигма-модели, описываемой (9), которые легко получаются посредством преобразования Лоренца из статических решений для

, имеют вид [21]:

(t vx/c2 )/

(10)

2arctgexp( (x vt/ c),

где v - скорость солитона, а (1 v2 /c2 )1/ 2 . Солитоны,

49

описываемые (10), является решениями для Неелевских доменных стенок, которые разделяет области с различными значениями намагниченности для одной подрешетки, и несут топологический заряд 2 . Схематично такие стенки проиллюстрированы на рис. 2. Энергия солитонов, описываемых выражением (10), есть:

и получена с учетом лоренц-инвариантности модели из выражения для энергии статических солитонов.

Рис. 2. Схематическое изображение Неелевских доменных стенок, которые разделяют области с различными значениями намагниченности для одной подрешетки.

Отметим, что поскольку обсуждаемая модель является интегрируемой, солитоны при столкновении не исчезают и не рождаются, а только меняют фазу.

Рассмотрим систему нанотрубок как ансамбль, в котором могут существовать возбуждения с энергией, описываемой формулой (11). Отметим три важных обстоятельства. Во-первых, солитоны не обязательно могут принадлежать одной нанотрубке. В предполагаемой модели, в силу того, что столкновительные свойства солитонов позволяют рассматривать их как идеальный газ, нет никаких ограничений как на плотность солитонов в нанотрубке, так и на характеристики одного солитона [21]. Во-

50