Основы наноелектроники / Основы наноэлектроники / ИДЗ / Книги и монографии / Наноматериалы, методы, идеи. Сборник научных статей, 2007, c.206

ДИЗАЙН СОЛИТОННЫХ РЕШЕТОК ЭЛЕКТРОНОВ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

О.Ю. Тузалина М.Б. Белоненко, Н.Г. Лебедев*)

Лаборатория нанотехнологий Волгоградского Института Бизнеса, ул. Южно-Украинская, 2, г. Волгоград, 400075, Россия

*) Волгоградский Государственный Университет, ул. 2-я Продольная, 30, г. Волгоград, 400062, Россия, E-mail: mbelonenko@yandex.ru

1. Нанотрубки – это полые цилиндры микроскопического размера в длину и нескольких нанометров в диаметре, стенки которых состоят из одного или нескольких слоев атома углерода, образованных из шестичленных колец, стали в последнее время одним из основных объектов исследований. Отметим, что прогресс в исследованиях нанотубулярных форм углерода начинается с 1991 года с работы Ииджимы [1] и отечественных ученых [2]. Дальнейшие исследования при помощи различных методик показали, что нанотрубки обладают уникальными свойствами: проводимостью (полупроводниковой или металлической), очень высокой прочностью и рядом других свойств, обуславливающих буквально неограниченные возможности их применений, например в микроэлектронике [3-9]. Относительная простота строения углеродных нанотрубок и их квазиодномерность сделали данные вещества весьма популярными среди как теоретиков, так и экспериментаторов. Особенный интерес, как и следовало, ожидать вызывают нелинейные свойства нанотрубок, как акустической, так и электромагнитной природы. В частности, нелинейные свойства углеродных нанотрубок, связанные с негармоничностью потенциала взаимодействия между соседними атомами углерода, исследовались при помощи редукции к уравнению КДФ в работах [10-12]. В отличие от указанных в данной работе предполагается сосредоточить внимание на нелинейных свойствах нанотрубок вызванных сильным взаимодействием

191

электронов, описываемых гамильтонианом Хаббарда и исследовать влияние на нелинейные свойства углеродных нанотрубок приложенного внешнего постоянного магнитного поля. Интерес к модели Хаббарда так же обусловлен и тем, что она является одним из кандидатов, претендующих на описание эффектов высокотемпературной сверхпроводимости. 2. Рассмотрим электроны, локализованные на атомах углерода в рассматриваемой нами нанотрубке, которые могут совершать прыжки с атома углерода на соседний атом углерода, причем, два электрона локализованные на одном атоме испытывают сильное кулоновское отталкивание. Гамильтониан задачи возьмем в традиционном виде, предложенном Хаббардом [13]:

2h aj aj

j

где aj ,aj - операторы рождения, уничтожения электрона на j-м узле (j={i, k}) со спином ( 1/2); t – интеграл перескока, t0 2эВ; U – энергия кулоновского отталкивания

потенциал, h-приложенное внешнее постоянное магнитное поле в направлении перпендикулярном оси нанотрубки. Заметим, что гамильтониан записан в нерелятивистском пределе малых скоростей, поскольку оценки показывают, что скорость электронов в углеродных нанотрубках меньше

104 м/с. Индексы i и k нумеруют атомы углерода в нанотрубке согласно обозначениям на рисунке 1.

192

уравнения движения в замкнутой форме. Данные уравнения можно получить и из условия минимума энергии для гамильтониана (1) с пробной функцией вида (2). Далее в работе будут рассматриваться углеродные нанотрубки предельно малого радиуса (геометрия задачи приведена на рис 1.). Предельно малый радиус здесь будет пониматься в том смысле, что в направлении вдоль окружности углеродной нанотрубки нельзя будет переходить к континуальному пределу. Также, согласно [15], в работе проведено разбиение решетки образуемой атомами углерода на две взаимодуальные подрешетки, так что электроны совершают лишь прыжки между подрешетками. Волновые функции для электронов находящихся в узлах различных подрешеток будем обозначать как и с соответствующими индексами (см.рис.1). Отметим, что подобное разбиение приводит к тому, что наши уравнения будут Лоренц инвариантными, где роль скорости света будет играть величина t0 a (a-постоянная

решетки, a 0,142 нм). В то же время особенность предлагаемого нами подхода в том, что считается, что вдоль оси нанотрубки характерные размеры, на которых существенно меняются величины j , j , много больше

194

расстояния между атомами углерода и, следовательно, можно сделать континуальное приближение:

Для анализа получившейся системы уравнений сделаем фурьепреобразование, используя периодические граничные условия вдоль окружности нанотрубки:

где N – число атомов вдоль окружности нанотрубки.

195

Окончательно получаем, положив без ограничения общности 0:

(7).

3. Полученная система уравнений остается еще достаточно сложной для анализа. Рассмотрим сначала случай, когда возбуждена лишь одна мода колебаний с к=0. Этот случай, очевидно, соответствует колебаниям однородным вдоль окружности нанотрубки. Проведем дальнейшее упрощение системы уравнений и заметим, что используя свойство Лоренц инвариантности для бегущих возбуждений (т.е. амплитуды которых зависят лишь от величины z-vt), задача сводится к анализу системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

(8)

где штрих обозначает дифференцирование по бегущей координате z-vt.

Следующим шагом рассмотрим более общий случай. Пусть N=6 (нанотрубка типа(6,0)). В этом случае система уравнений (7) будет замкнута, если предположить, что возбуждены только моды с k=0, k=3 или только моды с k=0, k=2, k=4. Иными словами полученная система уравнений замыкается для мод в центре и середине первой зоны

196

Бриллюэна, а также для мод в центре и лежащих на удалении в 1/3 от границ первой зоны Бриллюэна. В общем случае, такая редукция, полученной системы уравнений, связана с наличием абелевых подгрупп в группе трансляций вдоль соответствующего направления, и может быть связана с понятием буш-мод, рассматриваемых в [16, 17]. Так, в случае N=6, k=0, k=3 редуцируемая система уравнений имеет вид:

(9)

Для изучения видов солитонных решеток и возможности влияния на них постоянного электрического поля рассмотрим более подробно систему уравнений (7). Данная система дифференциальных уравнений решалась численно с использованием метода Рунге-Кутта восьмого порядка. Шаг схемы уменьшался в два раза до тех пор пока получившиеся с разными шагами результаты не отличались в 10 знаке после запятой. В расчетах были выбраны следующие значения параметров гамильтониана, оцененные при помощи MNDO метода [18] t=2 эВ, U=10 эВ, a= 0,142 нм. Как показали результаты численных расчетов, вид образующихся солитонных решеток определяется тем, больше ли их скорость v скорости «линейных возбуждений» в модели Хаббарда 2t0a.

197

В случае, когда скорость v больше 2t0a зависимость квадрата

модуля волновой функции электрона m(t) от «бегущей координаты» z-vt , в случае отсутствия внешнего постоянного магнитного поля, имеет вид представленный на рис. 1, который типичен.

переменной z-vt в отсутствии магнитного поля.

При включении магнитного поля начинает появляться дополнительная «модуляция» формы солитонной решетки, что представлено на рис. 3.

198