Основы наноелектроники / Основы наноэлектроники / ИДЗ / Книги и монографии / Наноматериалы, методы, идеи. Сборник научных статей, 2007, c.206

1 видно, что такая геометрия описывается эволюционной системой нелинейных кинетических уравнений концентраций компонент реагирующей смеси. Рис.1 наглядно указывает на то, что производство одного из веществ при достижении некоторого порогового значения концентрации подавляется производством другого, что и приводит к образованию петель в фазовом пространстве концентраций.

Прежде всего заметим, 1) конфигурация структуры на рис.1 указавает на то, что соответствующие полиномиальные компоненты векторных полей следует искать среди полиномов не ниже второго порядка.

2) в кинетические уравнения входят константы реакций и следовательно, коэффициенты полиномов правых частей системы кинетических уравнений должны удовлетворять основным положениям формальной химической кинетики [6]. Этих двух замечаний вполне достаточно, чтобы ставить задачу обнаружения подобных структур в в пространствах состояний химической кинетики.

Таким образом, решение задачи геометрического формирования двухлепестковых структур в условиях гомогенной смеси распадается на решение двух подзадач: 1) задача геометрического моделирования формобразования петель, 2) задача согласования геометрического моделирования двухлепестковой структуры с постулатами химической кинетики.

181

1.Вывод полиномиальных кинетических уравнений

которого предполагаем , что он единственен в любой своей окрестности, конечного диаметра.

Не теряя общности, параллельным переносом переместим данное семейство в начало координат, т.е. сделаем замену переменных

x1 a y1 , x2 b y2 . Перенесенное шестипараметрическое

семейство векторных полей (1) перепишется в следующем виде:

0 11 y12 12 y1 y2 12 y22 , 21 y12 21 y1 y2 22 y22

Соответственно операторная запись векторного поля примет вид :

(2)

Тогда в терминах качественной теории динамических систем формулировка задачи двухлепестковой структуры принимает вид :

Найти класс макроскопических кинетических уравнений многокомпонентной гомогенной смеси таких, что: 1) критическая структура системы кинетических уравнений является двухпетлевой в фазовом пространстве концентраций

реагирующих веществ; 2) коэффициенты ij зависят от

констант скоростей реакций линейным образом согласно законам химической кинетики [6].

Первая задача геометрическая по своему содержанию, вторая является задачей согласования существования двухлепестковой структуры с основными положениями феноменологической кинетики .

182

Решение этих двух взаимосвязанных задач дает конструктивное решение проблемы существования двухлепестковой динамики в гомогенных смесях. Вследствии полиномиальности компонент векторных полей, однозначно востанавливается шестипараметрическое семейство систем дифференциальных уравнений для интегральных линий векторного поля:

Линеаризация семейства систем (3) в окрестности состояния равновесия дает шести параметрические матрицы линеаризации вырожденные в начале координат. Представим векторное поле в виде суммы двух 1 2 , где 1 11 y12 12 y22 , 21 y1 y2 ,

(5)

Отметим, что в окрестности начала координат линеаризация каждого из элементов полученных трехпараметрических семейств вырожденна. Соответствующие семейства однозначно определяют трех параметрические системы следующих дифференциальных уравнений:

(6.а., 6.б.)

183

Вывод кинетических уравнений формообразования лепестков вдоль координатных осей OX1 ,OX2 . Далее, определим

параметры систем, при которых их фазовые портреты будут заполнены лепестковыми структурами, ориентированными вдоль

OX1 , OX2 . Простейший механизм образования двух лепестковой динамики [5] приведен на Рис. 2 .

Из вида Рис.2 заключаем, что необходимо ввести в правые части систем расщепляющие возмущения. Причем в окрестности состояний равновесия фазовые портреты расщепленных уравнений должны быть локально устроены по типу узла. Тогда в пределе исчезающего источника возмущения индекс Пуанкаре сложного состояния равновесия будет равен 2 , что как раз и соответствует наличию двух склеенных элиптических ячеек.

Векторное поле расщепляющего потенциала попытаемся найти в классе линейных векторных полей, т.е. ищем оператор :

Решение системы операторных уравнений (0.1─0.3) дает

коэффициенты 11 , 22 , 21 0, 12 0 векторного поля линейного источника возмущения для систем (5.а.), (5.б.) соответственно, где ─ положительный параметр расщепления.

Векторное поле источника расщепления является безвихревым rot u и искомый расщепляющий потенциал имеет вид :

Уравнения расщепленной динамики соответственно для систем (6.а., 6.б.), тогда принимают вид :

184

Проводя аналогичные построения в отношении системы (7.б.), получаем векторное поле двухлепестковой структуры:

Матрицы линеаризации ля состояний равновесия для состояний

Совершенно аналогичные рассуждения приводят к достаточным условиям формирования двух лепестковой структуры для коэффициентов второй системы.

Таким образом, две двух лепестковые динамики систем (7.а.), (7.б.) формируются по двум взаимноортогональным направлениям.

2. Алгебра Ли и формирование двухлепестковых структур.

Для обеспечения конечномерности алгебры Ли и выполнения принципа нелинейной суперпозиции [7] потребуем выполнение

коммутационного условия 1, 2 0. Операторная запись

векторных полей (4), (5) является инфинитеземальными образующими сответствующих локальных групп преобразований фазового пространства систем (6.а.), (6.б.). Для того чтобы

операторная запись суммы векторных полей 1, 2 была

инфинитезимальной образующей достаточно выполнения принципа нелинейной суперпозиции слагаемых этой суммы,

186

введенного и доказанного в работе [7]. Подставляя компоненты

1, 2 векторных полей, в 1, 2 0, группируя слагаемые

при одинаковых степенях и приравнивая выражения в скобках к нулю, получаем следующую систему уравнений на константы

алгебру Ли, натянутую на образующие (базис алгебры Ли) 1, 2 ,

3 над полем вещественных чисел (см. Табл. 1), где 1, 2 0,

тривиальным идеалом. Первый коммутант является двумерной и абелевой подалгеброй L1 L,L ,

L1 1, 2 L 1, 2 , 3 .

Таким образом, задача существования двухлепестковой структуры сводится к задаче существования оператора ее расщепленного векторного поля , лежащего в линейной

187

зависящих от трех параметров:

где правые части являются компонентами векторного поля расщепленной структуры. Полученная система имеет два стационарных режима:

Линеаризация системы расщепленной структуры дает две матрицы линеаризации в точках M0 ,M:

L 1, 2, 3, L 1, 2 .

0

Сточки зрения наложения фазовых портретов систем, происходит возмущение траекторий одной двухлепестковой структуры вдоль

оси OX2 другой ─ вдоль оси OX1 . В результате возникает

новая двухлепестковая структура, определяемая геометрической суммой этих двух векторных полей.

3. Механизм формообразования двухлепестковых структур.

Выведенные кинетические уравнения гомогенной смеси позволяют определить возможные механизмы формообразования лепестковой структуры. Например, механизм, описываемый кинетическими уравнениями:

188

протекающих реакций стоящих при линейных членах кинетических уравнений. При этом существует область достаточно малого диаметра, которую траектории покидают и затем при достаточно больших временах возвращаются в нее. Область расщепления при этом может быть сделана сколь угодно малой ( в данном случае она является отрезком) с сохранение геометрических свойств фазового портрета в проколотой

окрестности кр. 0: U 0 0 , 0 .

Литература.

[1]А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, А.Г. Майер, И.И. Гордон

Качественная теория динамических систем / М.: Наука , 1966.─ 665 с.

[2]Р.Гилмор Прикладная теория катастроф: в 2─х книгах .Кн. 2Пер. с англ.─ М.: Мир,1984.─ 285 с., ил.

[3]Рыжов Е.Н. Геометрическое интегрирование векторных полей расщепляющими возмущениями // Сер.: Автоматика и прикладные вопросы математики и физики. Вып. 3. Астрахань: АГТУ, 1997. С. 28─34.

[4]М.Б. Белоненко , Рыжов Е.Н. Метод введения возмущения в качественном анализе динамических систем. // Известия вузов Физика №7 2006г.

[5]М.Б. Белоненко, Рыжов Е.Н. Геометрические аспекты самоорганизации многолепестковых ячеек в химической кинетике. Материалы IV─ го межд. семинара по нелинейным процессам и самоорганизации в материалах Астрахань 3 ─5 октября 2003 .

[6]Г.С. Яблонский, Быков В.И., А.Н. Горбань Кинетические модели каталитических реакций / - Новосибирск: Наука, 1983 - 496 с.

[7]Журавлев В.Ф. О применении одночленных групп Ли к проблеме асимптотического интегрирования уравнений механики // ПММ -1986.- т.50, вып. 3. –С. 346 -352.

190