Основы наноелектроники / Основы наноэлектроники / ИДЗ / Книги и монографии / Наноматериалы, методы, идеи. Сборник научных статей, 2007, c.206

(СР). Электрические и оптические свойства квантовых СР весьма специфичны [7], поэтому актуальным представляется исследовать кинетические свойства квантовой нити со сверхструктурой.

Целью работы является расчет электрического тока, текущего вдоль оси цилиндрически симметричной квантовой нити со сверхрешеткой в условиях одновременного воздействия постоянного и переменного электрических полей. Считается, что нить содержит примесные центры, ионизация которых приводит к генерации в зоне проводимости неравновесных носителей заряда.

Для определенности, квантовая нить выбирается в модели жестких стенок. Энергетический спектр электронов такой нити в одноминизонном приближении имеет вид

где m - эффективная масса электрона в плоскости ZOY в материале нити, - полуширина минизоны проводимости, d - период СР. При этом считается, что СР периодична вдоль оси ОZ, pz - компонента

квазиимпульса электрона вдоль оси OZ, jm,n- n-ый корень

функции Бесселя первого рода m-того порядка, 0 - радиус нити.

Будем считать, что характерное расстояние, на котором происходит заметное изменение поля волны, значительно больше длины свободного пробега электронов. Последнее условие позволяет считать поле волны однородным и в кинетическом уравнении Больцмана для электрона в поле волны пренебречь пространственной производной функции распределения. В силу того, что электрические свойства подобной СР в значительно большей степени определяются особенностями энергетического спектра носителей тока, нежели конкретным видом интеграла столкновений, мы будем использовать кинетическое уравнение Больцмана с интегралом столкновений Батнагара-Гросса-Крука (БКГ) [7]. Такой выбор обусловлен еще и тем, что интеграл столкновений в виде БКГ корректно учитывает сохранение числа носителей тока в минизоне проводимости, оставаясь при этом довольно простым по своей форме. Отметим, что он не может быть

111

получен из общего интеграла Больцмана путем каких-либо приближений и поэтому является модельным. Таким образом, имеем кинетическое уравнение

Первое слагаемое в правой части (6) в соответствии с моделью БГК имеет вид

внешних воздействий) линейная концентрация электронов в минизоне проводимости, ν – частота столкновений электронов с

единицах.

Второе слагаемое в правой части (2) определяет уменьшение числа электронов в минизоне проводимости благодаря их рекомбинации и имеет вид

R p r f p,t f0 p ,

(5)

где r – частота рекомбинации электронов. Входящая в (2) функция G p – член генерации носителей тока – имеет смысл количества носителей, образующихся на единице длины вещества в единицу времени в результате ионизации, и находится по формуле

112

Здесь Wif – вероятность перехода электрона в единицу времени с примесного уровня i на уровень f, соответствующий свободному движению в минизоне проводимости, N – линейная концентрация примесей. Будем полагать постоянное электрическое поле слабым, так что туннельным просачиванием электрона с примесного уровня в минизону проводимости под его действием пренебрежем. Вероятность Wif будет обусловлена только переходами под влиянием переменного поля и записывается так:

энергия примесного уровня, ,E0 – частота и амплитуда

электромагнитной волны соответственно, m0 – масса свободного электрона, Mif – матричный элемент перехода примесь - минизона проводимости задается соотношением

(8)

где f - волновая функция электрона в минизоне проводимости,i – волновая функция электрона, локализованного на примеси.

Будем полагать глубину залегания примесного уровня V большой по сравнению с изменением потенциала СР на длине d. Тогда волновая функция электрона, локализованного на примеси, будет иметь тот же вид, что и в однородном кристалле. Выберем волновую функцию в виде, соответствующем водородоподобной примеси

(9)

113

где – обратный радиус локализации примесного центра, причем предполагается, что V и ширина минизоны проводимости 2 – величины одного порядка.

Волновую функцию электрона в минизоне проводимости запишем в виде [8]

радиальная координата, Jn x - функция Бесселя первого рода

порядка n.

Таким образом, подставляя (9) и (10) в (8), и переходя к цилиндрическим координатам, получаем следующее выражение для Mif

114

,

x - функция Хевисайда.

Решая уравнение (2) методом характеристик, получим следующее выражение для постоянной составляющей электрического тока, текущего вдоль оси OX

которая следует из суммирования обеих частей уравнения Больцмана (2) по квазиимпульсу.

Отметим, что выражение (15) с точностью до множителя n/n0

совпадает с результатами, полученными ранее в [9]. Однако именно наличие множителя n/n0 , зависящего сложным образом

от амплитуды и частоты поля электромагнитной волны, и обуславливает модификацию постоянной составляющей тока за счет процессов ионизации.

По формуле (14) построены графики зависимости тока в нити в безразмерных единицах от отношения /(2 ). На рисунке

график №1 соответствует концентрации примесей N 3n0 , график №2 – квантовой нити без примесей (графики построены при

115

Рис. 1. Зависимость постоянной составляющей тока от частоты электромагнитной волны (в безразмерных единицах). Графики

значение тока больше по модулю, чем в ситуации без примесей. Это связано с ростом эффективной концентрации носителей тока за счет ионизации примесей. Во-вторых, видно, что зависимость постоянной составляющей тока от частоты электромагнитного поля имеет немонотонный (ступенчатый) характер. На рисунке ступени в точке A соответствует переход с примесного уровня на первый (нижайший) уровень размерного квантования. Точка B соответствует включению процессов перехода с примеси на второй уровень размерного квантования, а точка C – выключению

116

переходов с примеси на первый уровень размерного квантования. При этом анализ показывает, что расстояние между ступенями имеет фиксированное значение и не зависит от глубины залегания примеси, а зависит только от ширины минизоны проводимости (расстояние между A и C) и параметров поперечного конфайнмента (расстояние между A и B). Последнее обстоятельство дает возможность экспериментального определения ширины минизоны проводимости и параметров поперечного конфайнмента. Кроме того, сами пороги четко выражены, что обусловлено особенностями ван Хова.

Наконец, отметим, что при выбранных параметрах структуры

I0 10 9 А.

Работа поддержана грантом Президента Российской Федерации МК-3316.2007.2

Список литературы

[1]А.А. Григорькин, С.М. Дунаевский. ФТТ, 22, 557 (2007)

[2]Л.И. Магарилл, М.В. Энтин. Письма в ЖЭТФ, 74, 249 (2003)

[3]И.А. Дмитриев, Р.А. Сурис. ФТП, 36, 1449 (2002)

[4]Н.Г. Галкин, В.А. Маргулис, А.В. Шорохов. ФТТ, 43, 511 (2001)

[5]В.А. Маргулис, Н.Ф. Павлова, А.В. Шорохов. ФТТ, 48, 880 (2006)

[6]В.Д. Кревчик, А.Б. Грунин. ФТТ, 45, 1272 (2003)

[7]Ф.Г. Басс, А.А. Булгаков, А.П. Тетервов. Высокочастотные свойства полупроводников со сверхрешетками (М., Наука, 1989).

[8]В.Я. Демиховский, Г.А. Вугальтер. Физика квантовых низкоразмерных структур (М., Логос, 2000).

[9]В.В. Павлович, Э.М. Эпштейн. ФТТ, 13, 1483 (1976)

117

Spontaneous transverse electromotive force in a lateral superlattice with parabolic miniband

G M Shmelev1, I I Maglevanny1, T A Gorshenina1 and E M Epshtein2

1Volgograd State Pedagogical University, 400131, Volgograd, Russia

2Institute of Radio Engineering and Electronics, Fryazino, 141190, Russia

E-mail: shmelev@fizmat.vspu.ru

Abstract. Distribution function and current density in a one-dimensional superlattice with parabolic miniband are calculated. The current dependence on the temperature coincides with experimental data. Generalization is carried out to quasi-two-dimensional superlattice with paraboloidal miniband. For a sample opened in Y direction with dc current in X direction, a novel nonequilibrium phase transition is found, namely, appearing a spontaneous transverse electric field Ey under temperature increasing. The synergetic potential whose minima correspond to the stationary states of the nonequilibrium electron gas and the methods of catastrophe theory are used. Near the transition temperature Tc* determined by the value of applied field Ex,

Ey ~ T To Ex

PACS numbers: 72.10, 72.60

1. Introduction

In present work, we study spontaneous appearance of a transverse (with respect to the current jx in the sample) electric field Ey in a quasi-two- dimensional superlattice (2SL). In fact, a nonequilibrium second-order phase transition (NPT2) is considered, where Ey takes part of an order parameter, while driving field Ex is a controlling parameter. Such a phenomenon is similar to the multi-valued Sasaki effect in multivalley semiconductors, that was observed in experiments [1]. That effect, however,' has been not treated as a NPT2, meanwhile such an approach is fruitful enough. This approach allows to develop fluctuation theory of NPT and reveal noise-induced NPT, as well to invistigate stochastic and vibration resonances in 2SL and other systems [2]-[5]. Unlike the earlier published works [2]-[5], where the conventional cosine-type model was used for the conduction miniband, here a dispersion law is considered in form of a truncated parabola, i. e. the dispersion law is assumed to be parabolic up to the Brillouin zone edge. Such a problem statement is of

118

interest, because the modern technology allows to vary widely the form of the potential relief and the SL energy spectrum.

In the low temperature limit (T → 0) the ISL conductivity with parabolic miniband was studied in [6]. Here we come out the scope of the approximation used in [6] and find the temperature dependence of the current density in the model mentioned. It appears, mat other NPT's, as compared to [2]-[5], are possible in 2SL with parabolic miniband. In that NPT's, the temperature is the controlling parameter, so that a transverse e.m.f. appears spontaneously under temperature increasing.

2. Distribution function and current density in ISL

The electron energy in the ISL lowest miniband is [6]

where p is quasimomentum, d is SL period, x axis being directed along the SL axis, s(p±) is in-plane electron energy, 2 2 /md2 is double miniband width, m is effective electron mass.

In quasi-classical situation ( eED, / ,where is electron momentum relaxation time, e is electron charge), the current density in uniform dc electric field E is found by solving Boltzmann equation with collision integral within -approximation:

Wjiere F0 (p) is equilibrium electron distribution function, F(p) is

unknown distribution function perturbed due the electric field. Below we use dimensionless variables by changing

p/d p,E/ E0 E,T / T E0 /ed , T is temperature in efiergy units).

With the field E is directed along the ISL axis, we have

distribution function, normalized to

the carrier density n f0 p being normalized to unity). Thus, f(px) function satisfies the following equation:

119

The second term is general solution of the homogeneous equation (3). The constant С is found from the function f(px) periodicity, f(—1) = f(1). Then we get

(6)

In limiting case E x 0 (6) reduces to (4). In another limiting case,

T 0, we get the distribution function found in [6j:

120