
Основы наноелектроники / Основы наноэлектроники / ИДЗ / Книги и монографии / Наноматериалы, методы, идеи. Сборник научных статей, 2007, c.206
.pdf
H (p |
e |
A(t))a a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
c |
|
p |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, (3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e |
|
|
|
|
|
|
U(k,t M(k |
x |
)M(k |
y |
)a |
|
a ) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
NxNy |
p,k n,m |
|
|
|
|
|
p k |
g |
p |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
операторы |
рождения |
и |
уничтожения |
электрона с |
|||||||||||||||||
где ap , ap – |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
импульсом p ; |
|
g (n2 |
,m2 |
d |
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Nxd |
*(x) (x)exp( ikxx)dx , |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
M (kx) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Nyd |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
*(y) (y)exp( ikyy)dy , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
M(ky) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U(k,t) – самосогласованный |
потенциал, |
определяемый |
|||||||||||||||||||||
следующим соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
), |
|||
U (k,t) |
|
a |
|
|
a M( k |
x |
)M( k |
y |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
k |
|
|
n,m |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
p |
|
p k |
g |
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- диэлектрическая проницаемость кристаллической решетки, угловые скобки означают усреднение по матрице плотности, соответствующей гамильтониану (3).
Уравнение движения в приближении случайных фаз для
средних a |
|
a |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
p k |
g |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
i |
(p k |
|
|
|
A(t)) (p |
|
A(t)) |
|
|
a |
|
a |
|
|||
|
c |
|
|
|
||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
p k g |
|
p |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ieU(k g,t)M k g M k g |
y |
(n |
|
|
n |
) , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
p k g |
|
p |
(6)
91

где np apap – числа заполнения электронных уровней в 2D – электронном газе.
Подставляя решение последнего уравнения в (5), после некоторых преобразований получаем для Фурье - компоненты U(k,t) следующее выражение
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
2 e2 |
|
|
|
M*(kx)M*(ky) |
|||||||||
|
|
|
|
|
U(k |
, ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
M([k g]x) M([k g]y) (k, ) U~(k g, ), |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n(p k) n(p) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
П(k, ) |
Фn (px ,kx ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
'(p k) '(p) n |
|||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|
|
|
|
|
2 dt |
|
i2 |
k |
x |
d |
|
|
sin(2st) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin pxd |
|
Фn (px ,kx ) |
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
sin |
2 |
|
J2s ( ) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
|
s 1 |
|
|
2s |
|||||||||
|
|
cos((2s 1)t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
J2s 1 |
( ) |
|
|
|
|
|
|
cos pxd int , Jn(x) – функция Бесселя 1- |
|||||||||||||||
|
2s 1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
го |
рода |
|
|
вещественного |
|
|
|
|
аргумента, |
|
|
eE0d / , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
'(p) |
|
|
J0( )cos(pxd) cos(pyd) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (7) получаем уравнение, определяющее
дисперсионную зависимость (k )
2 e |
2 |
|
|
|
(k, )S(k) 1, |
(9) |
|
|
|
||
|
|
|
где
92

|
|
|
|
|
|
) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
M([k |
g] |
x |
|
|
|
M([k |
g] |
y |
|
|
|
|||||||||||
S(k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(k |
|
g |
|
)2 |
(k |
|
g |
|
)2 |
|
|
||||||||||
n,m |
|
|
x |
x |
y |
y |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10)
Вычисление множителя S(k) требует знания конкретного вида потенциальных ям, образующих СС. Рассмотрим случай, так же как и в [1, 2], когда (x) const при 0 x d, и (x) 0 при x < 0, x > d. В этом случае выражение (10) примет вид
|
4 |
|
|
|
[1 cos(kxd)][1 cos(kyd)] |
|
|
|||||||||||
S(k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n,m(kx gx )2 (ky gy )2 |
|
|
|
(kx gx )2 (ky gy )2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(11) |
||||
При произвольных значениях k |
сумма в (11) не выражается |
|||||||||||||||||
через табулированные функции. Однако, при малых значениях k |
||||||||||||||||||
(kx,ky /d ) |
|
S(k) ведет себя как 1/ |
|
k |
|
. При этом в отсутствии |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
поля из (9) следует, что спектр плазмонов обладает дисперсией |
|
|
||||||||||||||||
2 ~ k , характерной для 2D газа без СС. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Рассмотрим далее невырожденный электронный газ, для |
|
|
||||||||||||||||
которого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p |
|
,p |
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||
|
n(p) exp |
x |
y |
)/T |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где T – температура в энергетических единицах.
Вычисление поляризационного оператора значительно упрощается в случае высоких температур ( << 2T). При высокой частоте электрического поля ( , 0 -собственная плазменная
частота СС) в сумме (8) ограничившись членом с n=0, имеем
93

(k, ) N0 1 2
T
|
|
|
|
|
|
K(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
kxd |
|
k |
y |
d |
2 |
||
|
|
|
| J0 |
( )sin |
| |sin |
|
|
| |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
d |
|
|
|
|
k |
у |
d |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
( ) sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
, |
||
2 |
|
|
|
k d |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(1 J |
|
( ))sin |
|
|
F |
1, |
|
;2,1; |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
|
0 |
|
|
2 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13)
где N0 – поверхностная плотность 2D электронного газа, K(z) – полный эллиптический интеграл первого рода, F4(a,b;c,c’;e;f) – гипергеометрическая функция Аппеля двух переменных,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kxd |
|
|
kyd |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
| J0( )sin |
sin |
| |
|
|
|
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
d |
2 |
|
||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
kxd |
|
|
|
y |
|
|
|
|||||
|
|
| J |
|
( )sin |
| |sin |
|
|
| |
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kxd |
|
k |
y |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
| J |
0 |
( )sin |
|
| |sin |
|
|
|
| |
. |
(14) |
2 |
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (10,11,13) следует, что частота плазменных колебаний зависит от волнового вектора периодически с периодом 2 /d . Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением спектра колебаний в пределах первой зоны Бриллюэна
/ d kx / d , |
/ d ky / d . |
( 15)
94

Рассмотрим далее предельный случай ky=0, kx=k, для которого можно получить явную зависимость (k) . При этом получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(k, ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
J0( )T |
|
|
2 |
|
kd |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
J |
( )sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(16)
и закон дисперсии плазменных колебаний имеет вид:
|
|
J |
0( )sin |
kd |
|
|
|
|
|
f (k) |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
f (k)2 |
1 |
|
|
|
(17) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
f (k) 1 |
|
T |
|
|
|
| J0 |
( )| . При |
|
|
|
T |
|
|
| J0 ( )| |
1 |
||||||||||||||
|
2 e |
2N |
0 |
|
S(k) |
|
|
|
|
|
|
|
2 e2N |
0 |
|
S(k) |
||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
kd |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
N |
0 |
S(k) |
|
|
|
|
||||
|
|
sin |
|
J0( ) |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18)
Из (17) следует, что частота плазмонов в высокочастотном поле зависит от амплитуды поля осциллирующим образом. Аналогичный результат получен в [6] для полупроводника с одномерной сверхрешеткой.
95

Рис.1. Зависимость ( )при a) kxd=0.1; b) kxd=1.
На рис.1 построен график зависимости ( ) полученный с помощью численного анализа формулы (17) при концентрации N0 = 1011 см-2, d = 10-5 см, = 10-2 eV , Tе 102 K, 1014 и значениях E0 = 0 - 105 B/см.
Если значение параметра приближается к корням функции Бесселя нулевого порядка, то плазменная частота стремится к нулю. Эта область соответствует полной самоиндуцированной прозрачности.
При уменьшении частоты плазмонов уже на порядок от ее значения в отсутствии электрического поля (E0=0), существенную роль в изучаемых явлениях будут играть процессы взаимодействия электронов с решеткой.
Настоящая задача решалась в пренебрежении столкновениями электронов с решеткой. Такое возможно, когда период плазменных колебаний мал по сравнению со временем свободного пробега электрона ( >>1). Для наблюдения предсказанных выше осцилляций последнее условие может быть
96
выполнено при 10-12 c (что является довольно жестким условием на чистоту образца). Таким образом, эксперименты по обнаружению описанного эффекта следует проводить при низких температурах в образцах с высокой подвижностью электронного газа. Например, экспериментальное изучение шубниковских осцилляций в подобных сверхструктурах [7] проводилось при 1.3 – 4.3 К; подвижность двумерных электронов при этом достигала достаточно высоких значений (2 – 5) 105 см2/(Bc).
Сделаем численные оценки. Для проявления осцилляционной зависимости (kx), как следует из (17), необходимо чтобы аргумент функции Бесселя был бы по крайней мере больше xo (xo 2.41 – наименьший корень функции Бесселя).
Литература
1.Глазов С.Ю., Крючков С.В. Плазменные колебания в двумерных полупроводниковых сверхструктурах // ФТП -2000. - Т.
34.- В. 7. - С.835-837.
2.Глазов С.Ю., Крючков С.В. Плазменные колебания в двумерных полупроводниковых сверхструктурах в присутствии сильного электрического поля // ФТП -2001. - Т. 35. - В. 4. - С.456-
3.Глазов С.Ю. Коллективные и одночастичные возбуждения в двумерном электронном газе со сверхструктурой в условиях штарковского квантования // Вестник ВГТУ. – 2006. - Т.2. - № 8. С.102-103.
4.Крючков С.В., Шаповалов А.И. О возможности распространения электромагнитного солитона в двумерной сверхрешетке // ФТТ. – 1997.– Т.39. – №8. – C. 1470 – 1473.
5.Эпштейн Э.М. Нелинейные плазменные колебания в сверхрешетке в присутствии высокочастотного электрического поля // ФТП. - 1978. - Т.12. - №.5. - С.985-987.
6.Романов Ю.А. Плазменные колебания в сверхрешетке, находящейся в сильном высокочастотном электрическом поле // ФТТ. – 1979. – Т.21. –№3. – С. 877-882.
7.Гусев Г.М., Квен З.Д., Бесман В.Б. и др. Осцилляции Шубникова – де-Гааза двумерного электронного газа в двумерном периодическом потенциале // ФТП. – 1992. – Т.26. – N3. – С. 539–
97
ЭФФЕКТ УВЛЕЧЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ СВЕРХРЕШЕТКЕ, ИНДУЦИРОВАННЫЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНОЙ, ПОЛЯРИЗОВАННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИ
С.В. Крючков, Е.И. Кухарь, Е.С. Сивашова Волгоградский государственный педагогический университет
400131, Волгоград, пр. Ленина, 27, sed@fizmat.vspu.ru
Изучен радиоэлектрический эффект в полупроводниковой сверхрешетке в режиме эллиптически поляризованной электромагнитной волны, а так же влияние продольного электрического поля на эффект увлечения. Исследованы параллельная и перпендикулярная ориентации вектора УмоваПойнтинга и оси сверхрешетки. Показано, что в случае параллельной ориентации возможна смена знака радиоэлектрического тока и в отсутствие внешнего постоянного электрического поля.
1. Введение
Возможность использования радиоэлектрического эффекта (РЭЭ) – эффекта увлечения носителей тока электромагнитными (ЭМ) волнами – для детектирования мощного ЭМ излучения [1,2], а так же для диагностики кинетических свойств полупроводников [3,4], вызывает повышенный интерес к изучению этого явления. В полупроводниковых сверхрешетках (СР), характеризующихся сильной непараболичностью энергетического спектра, РЭЭ обладает рядом специфических особенностей [5-14]. Основное отличие РЭЭ в полупроводниковых СР от РЭЭ в однородных полупроводниках заключается в нелинейной зависимости тока увлечения от интенсивности ЭМ волны. В последнее время [15,16] были отмечены новые особенности РЭЭ, которые должны наблюдаться в условиях воздействия на СР сильного электрического поля. В частности в [15,16] предсказан эффект смены знака РЭЭ при достаточно большой напряженности постоянного электрического поля.
В настоящей работе исследовано увлечение носителей заряда полупроводниковой СР эллиптически поляризованной ЭМ волной.
98

Будет показано, что смена знака РЭЭ в данной ситуации возможна и в отсутствии постоянного электрического поля.
Рассмотрим СР, периодичную вдоль оси Oz с периодом d . Будем считать движение электронов поперек оси СР почти свободным и описывать методом изотропной эффективной массы m , а движение электронов вдоль оси СР описывать методом сильной связи так, что зависимость энергии электрона от его квазиимпульса p имеет вид:
p |
px2 py2 |
|
|
p |
z |
d |
|
|
||
|
|
1 cos |
|
|
, |
|
(1) |
|||
2m |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
где – полуширина |
минизоны. Считаем, что выполняются |
|||||||||
условия, позволяющие решать задачу квазиклассически |
в |
|||||||||
одноминизонном приближении: |
2 , |
g , где g |
– |
ширина запрещенной минизоны, – частота ЭМ волны. В дальнейшем изучено два случая взаимной ориентации вектора Умова-Пойтинга и оси СР: параллельную и перпендикулярную ориентацию их направлений.
2. Вектор Умова-Пойтинга направлен вдоль оси СР 2.1. Увлечение эллиптически поляризованной волной в
отсутствие дополнительного постоянного электрического поля
Поле эллиптически поляризованной ЭМ волны задается следующими уравнениями:
Ex E0 cos t , Ey E0 cos t , Hx Ey , Hy Ex ,
(2)
где случай n соответствует линейно поляризованной волне,
случай 2n 1 2 |
– волне, поляризованной по кругу, |
n 0, 1, 2.... Пусть |
ЭМ волна распространяется в |
положительном направлении вдоль оси Oz. Скорость электрона
определяется выражением: V p |
p . Плотность |
тока |
увлечения рассчитывается по следующей формуле: |
|
|
jz e Vz p f p,t . |
|
(3) |
p |
|
|
99

где |
Vz d sin pzd . |
Неравновесная |
функция |
распределения f p,t учитывает воздействие электрических и магнитных полей на электронную подсистему и определяется уравнением Больцмана. Будем считать, что действие электрического поля и ЭМ волны не приводит к пространственной неоднородности функции распределения, т.е. f r 0. Это приближение справедливо, когда длина волны много больше длины свободного пробега электрона в кристалле. В дальнейшем интеграл столкновений рассмотрим в простейшем модельном виде, соответствующем приближению постоянного времени релаксации:
|
f |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
f |
|
f f |
0 |
|
|
||
|
|
e E |
|
|
V,H |
|
|
|
|
|
. |
(4) |
|||||||
|
t |
c |
p |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решением уравнения (4) является функция: |
|
|
|
||||||||||||||||
f p,t |
1 |
|
t |
|
|
|
|
t t |
0 p t ,p,t dt , |
|
|||||||||
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
f |
(5) |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где f0 p – равновесная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
функция распределения, p t |
,p,t – |
||||||||||||||||||||
решение классического уравнения движения электрона: |
|
||||||||||||||||||||
|
dp |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eE t |
|
,H t |
|
|
|
|
|
(6) |
|||||||||||
|
|
|
V t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dt |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t,p,t p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
с начальным условием p t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Для электронов, движущихся в кристалле под действием |
|||||||||||||||||||||
внешних полей, выполняется условие: |
|
Vz |
|
|
c 1. Данное условие |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
эквивалентно неравенству d |
c 1, |
поскольку |
|
Vz |
|
|
d . |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
Например, для 0.05 |
|
|
eV |
и |
d 10–6 |
cm, |
10–3. Решая |
||||||||||||||
уравнение (6) итерациями |
по |
|
Vz |
|
c и |
|
считая |
электронный газ |
|||||||||||||
|
|
|
невырожденным с температурой , находим следующее
выражение для плотности тока |
jz : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n e d I |
|
t |
|
|
|
t t |
|
e2d |
|
2 |
|
|
||||
j |
t |
0 |
|
1 |
|
|
|
dt exp |
|
|
|
|
sin |
|
|
A t A t |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||
z |
|
|
|
I0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2mc |
|
|
|
100