11. Вывод уравнения Лагранжа 2 рода.

Общее уравнение динамики сис. мат. точек в обобщённых координатах имеет вид: δq₁ (δ/ δt *( δT/ δq₁) – δT/ δq₁ -Q₁) + δq₂(δ/ δt - δT/ δq₂ – δT/ δq₂ – Q₂) + … + δq_S(δ/ δt - δT/ δq_S – δT/ δq_S - Q_S) = 0

Где q₁, q₂,…, q_S – обобщённые координаты, q₁, q₂,…, q_S - обобщённые скорости, δq_1, δq₂,…, δq_S - обобщённые возможные перемещения системы явл. вариациями соотвств. обобщ. координат,

Q₁, Q₂,…, Q_S - обобщ. силы системы, Т – кин. энергия системы. Т.к. δq_1, δq₂,…, δq_S в случае системы, подчиненной голомным связями, явл. независимыми обобщ. возможн. перемещ., то общ. ур–е динамики удовлетворяет лишь при условии, что коэф., стоящие при возможных перемещениях = 0, т.е.

δ/ δt *( δT/ δq₁) – δT/ δq₁ = Q₁ } – уравнение Лагранжа 2 рода.

δ/ δt *(δT/ δq₂) – δT/ δq₂ = Q₂ }

5. Диффер. Уравнение вращения тв. Тела вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси с z угловой скоростью ω (рис). Вычислим кинети. момент этого тела относительно оси его вращения. Момент количества движения точкиM_iтело относительно осиz: гдеL_iz = m_iυ_iz_i (a), r_i- радиус окружности описываемой точкойM_i; υ_i = r_iω - алгебраическая величина вращательной скорости точкиM_i. Подставляя в (а) это значение υ_i, получаемL_iz = m_ir_i²ω. Кинетический момент твердого тела относительно осиz:Здесь L_z= ∑ L_iz = ∑ m_ir_i²ω = ω∑ m_ir_i², ∑m_ir_i² = J_z - момент инерции твёрдого тела относительно оси z. Таким образом,

L_z = J_zω (в)т.е. кинет. момент вращающегося тела относительно неподвижной оси его вращения = произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость тела.

Рассмотри изменение кинет. момента тела относительно оси z под действием приложенных к нему задаваемых внешних сил P₁^E, P₂^E,…, P_n^E

Теорема об изменении кинет. момент мех. сис. выражается уравнением:

dL_z /dt = ∑ M_iz^E (г). Реакции подшипника В и подпятника А явл. внешними силами, но при отсутствии трения их моменты относительно оси z = 0 и правая часть уравнения (г) содержит только сумму моментов задаваемых внешних сил. При наличии трения эта сумма содержит также момент сил трения. Так как по (в): L_z = J_zω = J_zφ , то dL_z/dt = J_zφ, а потом уравнение (г)принимает вид: J_zφ = ∑ M_iz^E (е). Уравнение (е)представляет собой диф. уравн. вращения тв. тела вокруг неподвижной оси.

12. Динамические давления в гироскопе.

Пользуясь теоремой Резаля и формулой u = L_cω₁ = J _ζωω₁, получаем

M_C^E = u = J_ζωω_1, тогда динамические реакции подшипников

R_A^дин = R_B^дин = J_ζωω₁/AB

Давление рамы на подшипники противоположны по направлению соответсвующим реакциям подшипников и равны им по модулю.

P_A^дин = -R_A^дин; P_B^дин = -R_B^дин; P_A^дин = P_B^дин = J_ζωω₁/AB