КР (вариант 5)
.pdfКонтрольная «Управление в БТС»
Группа 7501 Фамилия Исаков А.О.
ВОПРОС 5. Задача ЛП с ограничениями-неравенствами. Переход от нее к основной задаче.
Пусть заданы условия:
|
|
+ +. . . + |
+ ≥ 0, |
|
|
|
|
||||
|
|
11 1 |
12 |
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
+ +. . . + |
+ ≥ 0, |
|
|
|
|
|||||
|
|
21 1 |
22 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
+ +. . . + |
+ ≥ 0, |
|
|
|
|
|||||
|
|
31 1 |
32 |
2 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
+. . . + |
|
+ ≥ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
5.1. |
Преобразуйте неравенства в уравнения-ограничения. |
|
|
|
|
||||||
5.2. |
Определите набор свободных и базисных переменных. |
|
|
|
|
||||||
5.3. |
Укажите, при каких условиях задача решается геометрическим способом, а |
||||||||||
при каком вычислительным. В каком случае не требуется применения ЛП? |
|
||||||||||
5.4. |
Что изменится, если в третьем неравенстве вместо знака |
|
будет |
|
. Пути |
||||||
|
|
||||||||||
решения такой изменённой задачи.
5.1. Преобразуйте неравенства в уравнения-ограничения
Пусть имеется задача ЛП с параметрами 1, 2 …
Ограничения имеют вид неравенств ≥ 0 , 0 ≤
Методом перестановки приводим к ≥ 0
Тогда ограничения могут принять такой вид:
11 1 + 12 2+. . . + 1 + 1 ≥ 0 { 21 1 + 22 2+. . . + 2 + 2 ≥ 0
. . .
1 1 + 2 2+. . . + + ≥ 0
Обозначим эту систему неравенств как (*)
Требуется найти такие неотрицательные значения 1, 2 … , которые удовлетворяют системе неравенств и обращают в минимум линейную функцию L.
[ = 1 1 + 2 2+. . . + ] →
Используется следующий прием:
Вводятся следующие переменные
= + +. . . + |
+ |
≥ 0 |
||||||||
1 |
11 |
1 |
12 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
= + +. . . + + |
≥ 0 |
|||||||||
{ 2 |
21 |
1 |
22 |
2 |
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
= |
+ |
+. . . + |
|
|
+ ≥ 0 |
|||||
|
1 |
1 |
2 2 |
|
|
|
|
|||
Обозначим эту систему уравнений как (**)
1, 2 … – добавочные переменные. Они также, как и исходные, должны быть неотрицательными ≥ 0.
1
Тогда возникает новая ЗЛП в следующей постановке:
Найти такие неотрицательные значения ( + ) переменных 1, 2 … 1, 2 … , чтобы они удовлетворяли системе линейных неравенств (**) и, кроме того, обращали бы функцию
→ .
5.2. Определите набор свободных и базисных переменных.
В такой подстановке x1, x2 … xn – рассматриваются как свободные переменные. А
переменные 1, 2 … – рассматриваются как базисные.
Перешли к классической подстановке.
5.3. Укажите, при каких условиях задача решается геометрическим способом, а при каком вычислительным. В каком случае не требуется применения ЛП?
Отличие:
•Функция L сразу выражена через свободные переменные.
•Если их только 2, то используют геометрический метод (n-m=2, m – число уравнений, n – число переменных).
•Если их больше 2-х, то используют вычислительные методы (n-m>2).
Если – линейные ограничения на элементы решения , то чаще используют методы
линейного программирования. Если исследуется динамика некоторой системы, т.е.
развитие ее состояния во времени и удается выделить некоторые промежуточные состояния системы, то используют методы динамического программирования.
5.4. Что изменится, если в третьем неравенстве вместо знака решения такой изменённой задачи.
будет
. Пути
Пусть имеется задача ЛП с n переменными x1, x2 … xn, в которой ограничения, наложенные на эти переменные, имеют вид линейных неравенств. В некоторых из них знак неравенства может быть ≥, в других ≤. Второй вид сводится к первому переменой знака в обеих частях неравенства. Поэтому задаем все ограничения в стандартной форме.
2 1 − 2 + 3 3 ≤ 6 |
|
|
−2 1 + 2 − 3 3 + 6 ≥ 0 |
3 − 3 2 ≤ −1 |
|
|
3 2 − 3 − 1 ≥ 0 |
{ 5 − 2 4 + 1 ≥ −1 |
→ |
{ |
1 − 2 4 + 5 + 1 ≥ 0 |
5 − 1 ≤ 0 |
|
|
1 − 5 ≥ |
После введения дополнительных переменных:
2
|
1 = −2 1 + 2 − 3 3 + 6 |
|
|||
{ |
|
2 = 3 2 − 3 − 1 |
( ) |
||
= − 2 + + 1 |
|||||
|
3 |
1 |
4 |
5 |
|
|
|
4 = 1 − 5 |
|
|
|
Задача сводится к тому, чтобы |
найти |
неотрицательные значения переменных |
|||
1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 3, 4 |
удовлетворяющие уравнениям (*) и обращающие в минимум |
||||
линейную функцию = 1 − 2 2 − 3 3.
Мы показали, как от задачи ЛП с ограничениями-неравенствами можно перейти к задаче с ограничениями-равенствами (ОЗЛП).
Пример
Заданы 3 уравнения:
1 + 2 = 1 { 2 − 2 3 = −3
3 − 4 + 5 = 1
Требуется:
1.Записать эту задачу как задачу ограничения неравенств
2.Решить основную задачу
= − 1 − 2 + 5
Решение:
n=5 (кол-во переменных) m=3 (кол-во уравнений) n-m=2=k
Пусть 1 и 4 свободные переменные
|
|
|
|
|
|
|
2 = 1 − 1 = 1 |
|
{ |
3 |
= |
3 + 2 |
= 1/2 − 1/2 + 3/2 = 2 − 0.5 1 = 2 |
||||
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
= 1 − 3 + 4 |
= 1 + 4 |
− 2 + 0.5 1 = 4 − 1 + 0.5 1 = 3 |
|||||
Осуществили обратный переход |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
≥ 0 |
|
1 − 1 ≥ 0 |
|
|
|
|
|
{ 2 |
≥ 0 |
→ { |
2 − 0.5 1 ≥ 0 |
|
|
|
|
|
3 |
≥ 0 |
|
4 − 1 + 0.5 1 ≥ 0 |
|
1 и 4 свободные
2 = 1 − 1
{3 = 2 − 0.5 1
5 = 4 − 1 + 0.5 1
2 = 0 → 1 − 1 = 0 → 1 = 13 = 0 → 2 − 0.5 1 = 0 → 1 = 4
5 = 0 → 4 − 1 + 0.5 1 → 4 = 1 − 0.5 1
Штриховка так, чтобы ≥ 0
3
= − 1 − 2 + 5 = − 1 − 1 + 1 + 4 + 0,5 1 − 1 = 4 + 0,5 1 − 2′ = − 0 = 0,5 1 + 4
′ = 0 → 0,5 1 + 4 = 0 → 4 = −0,5 1
Получили открытую ОДР, следовательно, решение на [AB]
(если бы по условию L′ → max, то решения не было бы)
Решение в опорной точке (.)А: x1 = 0, x4 = 1, x2 = 1, x3 = 2, x5 = 0
4