тельства; S2 – деструктивный аппендицит, требующий срочной операции. У хирурга есть две стратегии: A1 – оперировать, A2 – воздержаться от срочной операции (и наблюдать либо до исчезновения симптомов, либо до появления убедительной картины острого аппендицита). Пусть aij относительное число

выздоровевших больных (в процентах) из всех тех, находившихся в состо я- нии S j , к которым была применена стратегия Ai . Тогда матрица Ma для это-

го случая, составленная по реальным данным [8], имеет вид табл. 3.8. Под каждым столбцом этой матрицы приведены значения априорных вероятностей: P1 = P (S1 )= 0,75 , P2 = P (S2 )= 0,25, также взятые из [8].

Если подходить к данной матрице с позиций теории игр и не учитывать

Учет априорных вероятностей позволяет рассчитать средние значения выигрыша:

a1 = 99,9 0,75 +99,8 0,25 = 99,87; a2 =100 0,75 +99,3 0,25 = 99,82.

Из этого расчета следует, что, так как a1 > a2 , то применяется стратегия A1. Во всех случаях наилучшим признается проведение срочной операции. Этот пример убедительно показывает правильность поведения врача, предпочитающего срочное хирургическое вмешательство консервативному лечению при подозрении на аппендицит.

3.3. Критерии принятия решений в условиях неопределенности

Наличие вероятностей P1, P2, , Pn хотя бы в вероятностном смысле

определяет поведение «природы», однако часто относительно этих вероятностей нельзя сделать никаких предположений. В этом случае для выбора оптимального решения существует несколько подходов, приведенных далее.

Критерий Лапласа. Согласно этому критерию, называемому также принципом недостаточного основания Лапласа, все состояния S1, S2, , Sn

считаются равновероятными, т. е. P1 = P2 = = Pn = n1 . В этом случае, ис-

пользуя далее максимизацию ai (или fi ) или минимизацию ri согласно вы-

75

матрицам выигрышей Ma или M f , а по матрице риска Mr . Оптимальной

считается та стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален). При этом риск для разных состояний «природы» не превышает значения R , где

R= min max rij .

ij

Критерий Сэвиджа так же, как и критерий Вальда, допускает применение смешанной стратегии для игрока A в случае, когда матрица Mr не имеет седловой точки.

3.4. Принятие решений при острых хирургических заболеваниях органов брюшной полости

Целесообразность применения теории игр для оптимизации принятия решения о проведении хирургических операций при «остром животе», остром аппендиците, остром холецистите, закрытых травмах, онкологических заболеваниях и других подобных случаях подробно раскрыта в интересной монографии [8]. Дальнейшее изложение основано на материале этой работы. Специфику применения игровых методов для принятия оптимальных решений в хирургии рассмотрим на примере клинической ситуации подозрения на «острый живот», т. е. на острое хирургическое заболевание органов брюшной полости, и на примере онкологических заболеваний.

При «остром животе» у хирурга есть только две стратегии: A1 – срочное оперативное вмешательство и A2 – отказ от срочной операции с последую-

щим принятием нового решения. Состояния больного формулируются в соответствии с возможными управляющими воздействиями, т. е. стратегиями хирурга, следующим образом:

• S1 – острое заболевание органов брюшной полости, при котором показана срочная операция;

77

Если известны (или могут быть разумно назначены) априорные вероятности всех состояний, то оптимальное решение находится на основе макси-

мизации среднего выигрыша. Пусть P (S j )= Pj ; j =1, 2, 3, 4. Тогда при использовании стратегии A1 средний выигрыш

a1 = P1 (1−l)+ P2 (1−h)+ P3 (1−t)+ P4 (1−b),

а при использовании A2 он определяется формулой

a2 = P1 (1− g )+ P2 (1−d )+ P3 + P4 .

При a1 > a2 принимается решение: срочная операция ( A1), при a1 < a2 – отказ от операции (A2 ), при a1 = a2 оба решения равноправны.

Если вероятности неизвестны, то для выработки оптимального решения можно воспользоваться одним из критериев, рассмотренных в 3.3. Применение критерия Лапласа дает P1 = P2 = P3 = P4 = 0,25, поэтому в данном случае

a1 =1−0,25(l +h +t +b); a2 =1−0,25(g +h),

ирешающее правило имеет следующий вид. Применяется стратегия:

•A1, если (l +h +t +b)< (g +d );

•A2 , если (l +h +t +b)> (g +d );

•A1 или A2 , если (l +h +t +b)= (g +d ).

Пример 3.2. Определить оптимальную стратегию хирурга на основе критерия Лапласа, если матрица летальности Mc имеет вид табл. 3.12.

Так как l +h +t +b = 0,01+0,05 +0,005 +0,05 = 0,115; g +d = 0,1+0,01 = = 0,11 и для данной матрицы l +h +t +b > g +d , то принимается решение отказаться от срочной хирургической операции ( A2 ).

α2 =1−2g +l; α = max{α1, α2}.

Если l ≥ 2b , то (1−2b)≥ (1−l)и α1 =1−l . В этом случае из-за выполнения условия (1−2g +l)< (1−l) нижняя цена игры равна α = (1−l) и равна

верхней цене игры β , что говорит о наличии у M f седловой точки при выигрыше (1−l). Хирург в этом случае должен принимать решение о проведе-

Вальда ищется как смешанная стратегия хирурга.

82

б

Рис. 3.3

Проведенный анализ хорошо иллюстрируется на рис. 3.3, где дана геометрическая интерпретация данной игры по матрице M f . Из данного рисун-

ка видно, что максимум нижней границы выигрыша никогда не может быть в точке A2 . Знак наклона прямой S1S1 всегда будет постоянен, так как

видно, что если (1−l)> (1−2b), т. е. l < 2b , то решением станет оптимальная смешанная стратегия S*A , определяемая точкой N .

83

Воспользовавшись выражением (3.6), вычислим оптимальное соотношение частот применения стратегий A1 и A2 . Обозначив эти частоты как F (A1 )

и F (A2 ), данное отношение можно представить в виде

2

При этом цена игры, согласно (3.7), будет

γ =1+ b(l − 2g ). g +b −l

Выражение (3.10) показывает, что в случае, когда хирург не знает точных величин b, g, l , но все же известно, что g > b , то чаще надо применять стратегию A1; при g < b чаще надо применять A2 ; при g = b частоты выбора одинаковы.

Приведенный материал по игре 2 ×2 можно представить в виде простого алгоритма принятия решений. Исходные данные задаются в виде элементов матрицы Mc и, возможно, значения вероятности p = P (S1 ). Данный ал-

горитм приведен далее. Он воплощен в специальной карте (прил. 1), которая используется в клинической практике [8].

Алгоритм. Исходные данные: l, g, b, p ( p может в задании отсутствовать).

1.Начало.

2.Если в задании есть p , то выполнить п. 3, иначе перейти к п. 4.

3.Выполнить следующие операции:

а) вычислить a1 =1−b + p (b −l); б) вычислить a2 =1− pg ;

в) если a1 > a2 , то принять решение A1 и перейти к п. 5; г) если a1 < a2 , то принять решение A2 и перейти к п. 5;

д) если a1 = a2 , то принять решение A1 или A2 и перейти к п. 5. 4. При неизвестном p выполнить следующие операции:

а) если l ≥ 2b , то принять решение A1 и перейти к п. 5;

б) если l < 2b , то принять смешанную стратегию хирурга со следующим соотношением частот применения стратегий A1 и A2 :

84

Пример 3.3. Больной находится в одном из двух состояний, S1 или S2 , с вероятностями P (S1 )= p; P (S2 )=1− p . Надо принять обоснованное реше-

ние, проводить ли срочную хирургическую операцию, если для этих двух состояний матрица летальности M c имеет вид табл. 3.15, ее элементы равны g = 0,2; l = 0,03; b = 0,04; а вероятность p = 0,7 .

Вычисление a1 и a2 по формулам (3.8) и (3.9) дает a1 = 0,97 ; a2 = 0,86. Так как a1 > a2 , то принимается решение A1 – проводить срочную операцию.

Пример 3.4. Решить задачу, сформулированную в примере 3.3, при условии отсутствия данных о вероятности p .

Согласно описанному ранее алгоритму, так как l < 2b , то принимается смешанная стратегия хирурга с соотношением частот чистых стратегий A1 и A2

F (A1 ) = 0,4 −0,03 = 7,4 . F (A2 ) 0,08 −0,03

Последнее соотношение фактически показывает степень уверенности, которой может обладать врач при принятии решения A1.

Пример 3.5. Необходимо принять решение, проводить ли срочную хирургическую операцию, если у больного можно выделить три состояния: S1 – состояние, при котором необходима срочная операция; S2 – состояние,