3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИГР ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ КЛИНИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ХИРУРГИИ

3.1. Игры и методы их решения

Рассмотрим игру (модель конфликтной ситуации), в которой участвуют два игрока A и B , имеющие прямо противоположные интересы, поэтому выигрыш одного равен проигрышу другого. Такая игра называется парной игрой с нулевой суммой. Если игрок A выигрывает a , то игрок B при этом выигрывает −a , поэтому сумма выигрышей всегда равна нулю. Процесс игры заключается в последовательных ходах (личных – сознательных и случайных) противников, а совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации называется стратегией игрока [6]. При конечном числе стратегий игра

ходящую стратегию. Для данного игрока среди всех стратегий имеется оптимальная, обеспечивающая ему максимальный выигрыш. Задача теории игр – нахождение оптимальных стратегий игроков в предположении одинаковой «разумности» противников.

По матрице игры определяются нижняя α и верхняя β цены игры. Пусть

67

Принцип выбора противниками стратегий, соответствующих получению ими выигрышей α и β называется принципом минимакса, а сами стратегии – минимаксными. Известно [7], что минимаксные стратегии устойчивы по отношению к информации о поведении другой стороны только в случае, если α =β. Тогда матрица игры имеет седловую точку, а величина γ = α =β называется ценой игры. Стратегии Ai и B j , при которых достигается выигрыш γ,

называются оптимальными чистыми стратегиями, а их совокупность – решением игры.

Более часто α ≠β, и тогда для получения наибольшего выигрыша игроку выгодно не применять одну (чистую) стратегию, а чередовать случайным образом несколько стратегий. Такие стратегии, состоящие в случайном чередовании чистых стратегий, называются смешанными и задаются соответ-

игроком A стратегии Ai , q j – вероятность применения игроком B стратегии B j , причем

Если допустить применение смешанных стратегий (чистая стратегия – частный случай смешанной), то для каждой конечной игры можно найти хотя бы одно решение, т. е. пару устойчивых оптимальных стратегий игроков

(S*A, SB* ), обладающих следующим свойством: если один из игроков при-

держивается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть вы годно отступить от своей [6]. Выигрыш, соответствующий решению, называется, как и раньше, ценой игры и в общем случае (при применении смешанной стратегии) лежит в интервале α ≤ γ ≤β. Самая простая конечная игра – игра 2 ×2 . Ее матрица имеет вид табл. 3.2.

68

стратегий, а любая точка внутри этого отрезка соответствует некоторой смешанной стратегии S*A = (p1, p2 ). В этом случае ординаты прямой B1B1 , про-

веденной так, как показано на рис 3.1, соответствуют выигрышу игрока A при применении им любой стратегии (чистой или смешанной) с условием, что B применяет B1. Прямая B2B2 также отражает выигрыш игрока A

в случае, когда B применяет B2 . Жирной линией отмечена нижняя граница выигрыша B1NB2 (минимальный выигрыш игрока A при любой его смешан-

ной стратегии). Очевидно, решение достигается в точке максимума нижней границы (N на рис. 3.1). Геометрические построения легко осуществляются по элементам матрицы игры, которые откладываются на вертикальных осях. По рисунку легко находятся α, β, γ и проводится анализ игры.

Геометрическим способом также легко анализируются и решаются игры 2 ×n . Они задаются матрицей игры, представленной в табл. 3.3, а на рис. 3.2 представлена геометрическая интерпретация этой игры для случая n = 4 .

69