При наличии значительного числа признаков m для решения этой задачи целесообразно применить итерационный симплекс-метод, что позволяет одновременно находить решение и прямой задачи [13].

Данный подход, основанный на теории двойственности, показывает возможность применения методов линейного программирования при построении разделяющей гиперплоскости. В процессе вычислений может быть решена и более общая задача распознавания образов, а именно, оценена мера «неразделимости» исследуемых классов объектов.

2.УПРАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЕМ ОРГАНИЗМА

ВБИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

НА ОСНОВЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

2.1. Метод динамического программирования

Рассмотрим управляемый процесс, который переводит некоторую систему G из начального состояния S0 в конечное состояние Sm . При наличии

промежуточных состояний такой перевод представляется в виде траектории, состоящей из конкретной последовательности промежуточных состояний (рис. 2.1). Если промежуточные состояния могут быть различными, то траектория перевода G из S0 в Sm неоднозначна и зависит от вырабатываемых управляющих воздействий x .

ции в процессе оптимизации ее стремятся либо максимизировать, либо ми-

управления x *, при котором целевая функция W достигает своего минимального значения W *, т. е.

W* = min{W (x)}.

x

35

Представим себе процесс управления состоящим из конечного числа последовательных шагов. В этом случае траектория перехода G из S0 в Sm будет иметь вид последовательности промежуточных состояний S0, S1, S2, , Sm , которая является результатом пошагового управления x , также имеющего вид последовательности x = x1, x2, , xm . Будет считать, что Si обозначает состояние системы G , а xi – управление на i-м шаге для произвольной траектории. Для конкретной же траектории конкретное управление xi′ переводит G в конкретное состояние Si′. Нужно иметь в виду, что управления x1, x2, , xm в общем случае не числа, а векторы, функции, какие-либо предписания и т. п. Пусть на каждом отдельном i-м шаге, заключающемся в переходе из Si−1 в Si , известно значение целевой функции W , которое обозначается wi . Считая выбранный критерий W аддитивным, т. е. полагая, что

m

W = ∑wi ,

i=1

задачу оптимизации можно сформулировать следующим образом. Требуется найти такое оптимальное управление x = x1 , x2, , xm (где xi – оптимальное шаговое управление на i-м шаге), при котором целевая функция W принимает минимальное значение, т. е.

m

W = ∑wi min .

i=1

Последовательность оптимальных шаговых управлений x1 , x2, , xm

приводит к оптимальной траектории S0, S1*, S2*, , Sm* −1, Sm перевода G из S0 в Sm .

36

S1′′

Рис. 2.2

Для примера, приведенного на рис. 2.2, существуют два варианта управлений и две возможных траектории, для каждой из которых можно подсчитать значение целевой функции.

x = x′′, W =W ′′.

Поиск оптимального управления x методом динамического программирования основан на использовании общего принципа, известного как принцип оптимальности. Он формулируется следующим образом [7].

Каково бы ни было состояние S системы G в результате какого-то числа шагов, мы должны выбирать управление на ближайшем шаге так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к минимальному значению целевой функции на всех оставшихся шагах, включая данный.

При решении задач динамического программирования полезно пользоваться схемой решения, данной в [6], [7]. После выбора способа описания состояний управляемой системы и разбиения всего процесса управления на шаги применяется следующая процедура [7].

1. Перечислить набор шаговых управлений xi для каждого шага и налагаемые на них ограничения.

37

2. Для каждого i-го шага определить значение wi в функции от состо я- ния Si−1 на (i −1)-м шаге и от шагового управления xi

wi = fi (Si−1, xi ).

3. Определить, как изменяется состояние Si−1 системы G под влиянием

4. Пусть Wi (Si−1 ) – условный оптимум целевой функции, получаемый

на всех последующих шагах, начиная с i-го и до конца. Надо записать основное рекуррентное уравнение динамического программирования, выражающее Wi (Si−1 ) через уже известную функцию Wi+1 (Si ),

Этому условному оптимуму целевой функции соответствует условное оптимальное управление на i-м шаге xi (Si−1 ), которое совместно с оптимальным

управлением на всех последующих шагах обращает целевую функцию на всех оставшихся шагах, начиная с данного, в минимум.

5. Произвести условную оптимизацию последнего, m-го шага, задав множество состояний Sm−1, из которых можно за один шаг дойти до конечного состояния, вычисляя для каждого Sm−1 условный оптимум целевой функции по формуле

и находя условное оптимальное управление xm (Sm−1 ), для которого этот ми-

нимум достигается.

6. Произвести условную оптимизацию (m – 1)-го, (m – 2)-го и т.д. шагов по формуле (2.2), полагая в ней i = (m −1), (m −2), , и для каждого шага указать

условное оптимальное управление xi (Si−1 ), при котором достигается минимум. Так как начальное состояние системы S0 одно и оно известно, то на первом шаге варьировать состояние системы не нужно – оптимальное значение целевой функции для S0 находится непосредственно. Это и есть оптимум

функции цели за весь процесс перевода:

W =W1 (S0 ).

38

7. Произвести безусловную оптимизацию управления, учитывая выработанные ранее рекомендации на каждом шаге. На первом шаге оптимальное

шаговое управление x1* = x1 (S0 ). Пользуясь (2.1), находим изменившееся состояние системы S1, для него определяем оптимальное управление на втором шаге x2 , и т. д. до конца.

2.2.Управление переходом организма из начального

вконечное состояние при наличии промежуточных состояний

Управляемый процесс перевода системы G из начального S0 - в конечное Sm -состояние можно интерпретировать как процесс лечения, который переводит организм человека из состояния «болен» в состояние «здоров», или процесс нормализации состояния человека-оператора, переводящий организм из состояния «не норма» в состояние «норма». Если при этом реализуется возможность выделения конечного множества состояний организма, являющихся промежуточными между S0 и Sm , и можно описать шаговые управления, переводящие организм из одного состояния в другое, то для оптимизации процесса лечения или нормализации состояния можно применить метод динамического программирования. С помощью этого метода может быть заранее рассчитана оптимальная траектория перевода организма из S0 в Sm .

В качестве критериев оптимизации, т. е. целевых функций W , могут выступать следующие: время лечения (нормализации состояния, выздоровления, вывода из опасного состояния и т. п.), токсичность применяемых медикаментов – «вредность» лечения, его стоимость, вероятность благоприятного исхода, риск осложнений и др. Для реальных задач предпочтительнее использовать одновременно несколько критериев, но это приводит к более сложным процедурам многокритериальной оптимизации. Далее в примерах мы будем использовать лишь один аддитивный критерий – время лечения или нормализации состояния.

Одна из известных задач, рассмотренная в [6], [7] под названием выбора наивыгоднейшего пути между двумя пунктами (или наиболее экономного набора скорости и высоты летательным аппаратом), в применении к процессу лечения может быть сформулирована следующим образом. Имеется два заболевания B1 и B2 , каждое из которых состоит из n последовательных

39

вышли за пределы нормы. С помощью управляющих воздействий эти показатели можно привести в норму. Каждый из показателей измеряется в порядковой шкале и принимает 5 значений. Значение 5 соответствует норме, а значение 1 – наихудшему случаю. Управление нормализацией состояния происходит по шагам. На каждом шаге возможно улучшение лишь одного из показателей на 1. Все возможные состояния оператора изображаются в виде узлов сетки (рис. 2.4).

В начале процесса управления оператор находится в состоянии S0 . Целевое состояние S0 соответствует норме. На ребрах сетки проставлены чис-

40

Рис. 2.4

ла, равные времени улучшения показателя на одном шаге управления. Требуется так рассчитать траекторию управления состоянием оператора при переводе его из S0 в S8 , чтобы суммарное время нормализации его состояния было минимальным.

Из рисунка видно, что число шагов при переводе организма из состояния S0 в S8 всегда равно 8. Требуется выбрать такой путь из S0 в S8 , для которого сумма чисел, стоящих на отрезках, составляющих этот путь, минимальна. В соответствии с п. 4–6 вышеописанной процедуры решения задач динамического программирования и следуя ходу решения таких задач, изложенному в [6], произведем условную оптимизацию, начиная с последнего, 8-го шага.

Рис. 2.6

ление в этом случае покажем стрелкой, направленной из S7′′ в S8 . Таким образом, условная оптимизация последнего шага сделана, условный оптимум целевой функции для каждого из состояний S7′ и S7′′ найден и записан в соответствующем кружке.

управление и условный оптимум целевой функции. Для S6′ управление вы-

у S7′ ), которые мы также записываем в кружке у S6′. Аналогично для S6′′ управление также вынужденное (переход в S7′′, который мы обозначаем соответствующей стрелкой), а на весь этот путь до конца уйдет 14 единиц времени, что мы и отмечаем в кружке у S6′′′. Для S6′′ управление уже не вынужденное: мы можем двигаться как по вертикали, так и по горизонтали. В первом случае траектория из S6′′ до конца занимает 13единиц времени (5 на данном шаге, плюс 8, записанных в кружке у S7′ ), а во втором 14 (8 + 6). Значит, условное оптимальное управление в S6′′ – это перевод организма в состояние S7′ . Отмечаем это стрелкой, а число 13 записываем в кружке у S6′′.

Действуя аналогично и двигаясь от конца к началу, для каждого узла сетки найдем условное оптимальное управление, которое обозначим стрелкой, и условный оптимум целевой функции (время перевода в конечное состояние), который запишем в кружке. Вычисляется он так: время перевода на данном шаге складывается с уже оптимизированным расходом времени, записанным в кружке, куда ведет стрелка. Таким образом, на каждом шаге мы оптимизируем только этот шаг, а следующие за ним – уже оптимизированы. Конечный результат процедуры оптимизации показан на рис. 2.7. Теперь, находясь в любом узле сетки, мы знаем, какое управление применять (стрелка) и в какие временные затраты нам обойдется путь до конца (число в кружке). В кружке при S0 записаны оптимальные (минимальные) затраты на всю

процедуру нормализации состояния.

42

состояния оператора). При этом существует 8 промежуточных состояний, S1′, S1′′, S1′′′, S2′ , S2′′, S2′′′, S3′, S3′′, а возможные переходы из одного состояния в

другое изображены на рис. 2.8 в виде ориентированного графа.

На ребрах графа проставлено время, требующееся для перевода организма из одного состояния в другое. Предполагается, что выбор маршрута переходов полностью управляем. Требуется определить оптимальную траекторию перевода организма из S0 в S4 , при которой общее время этого пере-

вода будет минимально.

Рис. 2.8

Начнем решение этой задачи с перечисления шаговых управлений, начиная с последнего шага и указывая результат этого управления. Запись

xi ={Sk → S j } будет означать, что управление xi (на i-м шаге) переводит G

Для каждого шага запишем временные затраты wi в функции от состояния на предыдущем шаге и шагового управления. Обозначим их в соответ-

ствии с шаговыми управлениями, приведенными выше (w3(5) означает время перевода G из S'''2 в S3' , являющегося следствием управления x3(5)):

44

Запишем основное рекуррентное уравнение динамического программирования, используемое для условной оптимизации. Согласно (2.2), оно имеет вид

Wi (Si−1 )= min{wi +Wi+1 (Si )}.

xi

Проведем условную оптимизацию, начиная с последнего, 4-го шага. Согласно (2.3),

W4 (S3 )= min{w4}.

x4

Перед 4-м шагом состояние G может быть либо S3′, либо S3′′. В обоих случаях оптимальное шаговое управление – это перевод G в S4 . Значения условного оптимума целевой функции равны, соответственно,

W4 (S3′ )= w4(1) = 6;

W4 (S3′′)= w4(2) = 5.

Далее оптимизируем предпоследний, 3-й шаг. Для него

W3 (S2 )= min{w3 +W4 (S3 )}.

x3

Если перед этим шагом G находился в состоянии S2′ , имеем две возможности перевода G в S4 : либо через S3′ (это займет 8 + 6 = 14 единиц времени), либо через S3′′. В последнем случае временные затраты равны 4 + 5 = = 9, поэтому этот вариант следует предпочесть и считать, что минимальное время достижения конечного состояния из S2′ равно 11 единицам. Формаль-

но, если S2 = S2′ , имеется два управления, x3(1) и x3(2), и условный оптимум целевой функции

W3 (S2′ )= min{ w3(1) +W4 (S3′ ) , w3(2) +W4 (S3′′) }= min{[8 +6], [4 +5]}= 9 ,

45

условное оптимальное управление в этом случае равно x3 (S2′ )= x3(2). Таким же способом можно вычислить, что W3 (S2′′)= 9 , x3 (S2′′)= x3(3) ; W3 (S2′′′)= 7, x3 (S2′′′)= x3(6) . Переходим к оптимизации 2-го шага. Для него

W2 (S1 )= min{w2 +W3 (S2 )}.

x2

Если перед 2-м шагом G находился в состоянии S1′, то x2 {x2(1), x2(2)}, поэтому

W2 (S1' )= min{ w2(1) +W3 (S2′ ) , w2(2) +W3 (S2′′) }= min{[11+9], [4 +9]}=13,

и условное оптимальное управление для состояния S1′ равно x2 (S1′)= x2(2).

Аналогично проводятся расчеты и для других предыдущих состояний этого шага, а затем рассчитывается 1-й шаг, перед которым G всегда находится в S0 . Все результаты условной оптимизации сведены в табл. 2.1.

На рис. 2.9 стрелками показаны все условные оптимальные управления, а в кружочках проставлены значения условного минимума для

46

в другие состояния Si . Теперь, находясь в каком-либо состоянии и применяя

некоторое управление, можно говорить только о средних затратах W времени достижения конечного состояния, которые вычисляются как взвешенные по соответствующим вероятностям затраты, рассмотренные по всем возможным из данного состояния траекториям. В этом случае, очевидно, задача заключается в нахождении такого множества оптимальных управлений (по одному для каждого состояния), которое дает минимальное среднее значение времени перехода из S0 в Sm .

известны условные минимальные средние временные затраты W i+1 (Si ) на достижение конечного состояния из Si (Si {Si(1), Si(2), , Si(n)}). На рис. 2.10

48

управляющих воздействий xi , которым соответствуют определенные наборы вероятностей перехода P (Si | Si−1, xi ). Эти наборы приведены в табл. 2.2–2.5. В этих таблицах, как уже отмечалось, сумма чисел в каждой строке равна 1.